Demostrar que la matriz es definida positiva

Question

Tengo una matriz cuadrada con elementos $A_{i,j} = b^{|i-j|}$ donde $0 < b < 1$ . Quiero demostrar que es definida positiva. La matriz se ve así: $$ A_{n\times n}:=\left( \begin{array}{cccc} \;1 & b & b^2&\ldots& b^{|1-n|}\\ b & 1 & b &\ldots & b^{|2-n|}\\ b^2& b & 1 & \ldots& b^{|3-n|}\\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots\\ b^{|n-1|} & b^{|2-n|}& b^{|3-n|} &\ldots b^{|n-n|} \end{array}\right) $$ ¿Puede alguien demostrar que es positiva definitiva?

Answer 1

Denotamos por $\Delta_n$ el determinante de $A_n$ . Considerando la fila $n$ y sustituyéndolo por $R_n-bR_{n-1}$ (que no cambia el determinante), obtenemos la relación de recursión $\Delta_n=(1-b^2)\Delta_{n-1}$ . Desde $\Delta_2=1-b^2$ los menores principales tienen un determinante positivo. Concluimos por el criterio de Sylvester.