Probabilidades de que dos jugadores se encuentren en un torneo de eliminación simple de ocho personas

Question

Hay un $8$ torneo de personas. Las probabilidades de ganar son $50\%$ para cada jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que $2$ reuniones de jugadores en algún momento del torneo?

Entiendo que hay $7$ partidos, y hay un total de $\binom 82$ formas de elegir $2$ personas fuera de $8$ . Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{7}{\frac{8!}{2!6!}} = 0.25$ .

Lo que me atasca es otra forma de enfocar el problema. La pregunta es cuál es la probabilidad de que $A$ y $B$ se reunirían. Existen $3$ rondas de partidos. En la primera ronda, P( $A$ reunión $B$ ) es $1/7$ . En la segunda vuelta, dado que $A$ no se ha reunido $B$ en redondo $1 (p=6/7)$ y que ambos $A$ y $B$ pasó a la segunda ronda $(p=0.5*0.5 = 1/4), A$ tiene una probabilidad de $1/3$ reunirse $B$ . Así que la probabilidad de que se encuentren en la ronda $2\;\; is\;\; 6/7*1/4*1/3 = 1/14$ .

Para hacer $1/7+1/14+P(A, B$ se reúnen en ronda $3) = 0.25$ , $P(A,B$ se reúnen en ronda $3) = 1/28.$ Pero no podía entender por qué la probabilidad de que $A$ y $B$ se reúnen en ronda $3$ es $1/28.$ ¿Alguna idea?

Answer 1

En términos más generales, suponiendo n rondas de un torneo por eliminatorias ( $2^n$ jugadores) y cada jugador tiene probabilidades pares en cualquier partida, entonces la probabilidad de que se encuentren es:

$$\sum \limits_{r=1}^{n} \frac{1}{2^{r-1}(2^n-1)}$$

Answer 2

La probabilidad es 1/4.

La probabilidad de que los dos jugadores se enfrenten en la primera ronda es de 1/7. La probabilidad de que cualquier jugador pase a la segunda ronda es 1/2. La probabilidad de que ambos pasen a la segunda ronda es 1/4. En una disposición de cuatro jugadores, hay una probabilidad de 1/3 de que dos jugadores jueguen entre sí una vez multiplicada por 6/7 (la probabilidad de que no hayan jugado entre sí en la primera ronda). Esto significa que la probabilidad de que jueguen entre sí en la segunda ronda es 1/4*1/3*6/7=1/14. La probabilidad de que una persona llegue a la última ronda es de 1/4. Esto significa que la probabilidad de que ambos estén en la última ronda es de 1/16. Si esto se multiplica por 4/7 (la probabilidad de que no se hayan encontrado antes) obtenemos 1/28. Si ambos están en la última partida, tienen un 100% de probabilidades de enfrentarse. Esto significa que la probabilidad total de que jueguen entre ellos es 1/7+1/14+1/28=1/4. Gracias amigos, espero que os haya gustado esta respuesta.