Probabilidades de que dos jugadores se encuentren en un torneo de eliminación simple de ocho personas

Question

Hay un $8$ torneo de personas. Las probabilidades de ganar son $50\%$ para cada jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que $2$ reuniones de jugadores en algún momento del torneo?

Entiendo que hay $7$ partidos, y hay un total de $\binom 82$ formas de elegir $2$ personas fuera de $8$ . Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{7}{\frac{8!}{2!6!}} = 0.25$ .

Lo que me atasca es otra forma de enfocar el problema. La pregunta es cuál es la probabilidad de que $A$ y $B$ se reunirían. Existen $3$ rondas de partidos. En la primera ronda, P( $A$ reunión $B$ ) es $1/7$ . En la segunda vuelta, dado que $A$ no se ha reunido $B$ en redondo $1 (p=6/7)$ y que ambos $A$ y $B$ pasó a la segunda ronda $(p=0.5*0.5 = 1/4), A$ tiene una probabilidad de $1/3$ reunirse $B$ . Así que la probabilidad de que se encuentren en la ronda $2\;\; is\;\; 6/7*1/4*1/3 = 1/14$ .

Para hacer $1/7+1/14+P(A, B$ se reúnen en ronda $3) = 0.25$ , $P(A,B$ se reúnen en ronda $3) = 1/28.$ Pero no podía entender por qué la probabilidad de que $A$ y $B$ se reúnen en ronda $3$ es $1/28.$ ¿Alguna idea?

Answer 1

Existen $\binom{8}{2}$ formas de elegir $2$ jugadores de $8$ . Cualquier conjunto de dos jugadores tiene las mismas probabilidades de ser el conjunto de finalistas.

También podemos hacerlo de forma más complicada. La probabilidad de que estén en diferentes grupos de $4$ es $\frac{4}{7}$ . Entonces cada uno tiene que ganar dos partidos, probabilidad $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}$ .

Answer 2

He aquí otra forma de enfocar el problema.

A se encontrará con 1, 2 ó 3 adversarios, con probabilidades $\frac{1}{2}$ (es noqueado en el primer asalto [R1]), $\frac{1}{4}$ (gana en R1 y pierde en R2), y $\frac{1}{4}$ (gana en R1 y R2).

Si se encuentra con 1 oponente, hay $\frac{1}{7}$ posibilidad de que sea B.
Si cumple 2, hay $\frac{2}{7}$ probabilidad de que uno de ellos sea B.
Si cumple 3, hay $\frac{3}{7}$ probabilidad de que uno de ellos sea B.

Así que la probabilidad de que se encuentre con B es $(\frac{1}{2}*\frac{1}{7})+(\frac{1}{4}*\frac{2}{7})+(\frac{1}{4}*\frac{3}{7})=\frac{1}{4}$ .

Y si se encuentra con 3 oponentes y uno de ellos es B, entonces la probabilidad de que se encuentre con B en cualquier ronda particular es $\frac{1}{3}$ . Así que la probabilidad global de que se encuentre con B en la 3ª ronda es

$(\frac{1}{4}*\frac{3}{7}) * \frac{1}{3} = \frac{1}{28}$ .

Answer 3

He aquí otro enfoque.

Digamos que los dos jugadores de interés son A y B. El jugador A tiene una probabilidad de $1$ de jugar una partida en la primera ronda; $\frac12$ de jugar una partida en la segunda ronda; y $\frac14$ de jugar una partida en la tercera ronda.

No tenemos ninguna razón para preferir un oponente concreto para A en una ronda concreta. Por tanto, la probabilidad de que A juegue contra B en la primera, segunda o tercera ronda respectivamente es $1\cdot\frac17$ ; $\frac12\cdot \frac17$ y $\frac14\cdot \frac17$

Answer 4

Creo que la etapa de ruptura de probabilidad sabia que usted está buscando
mientras concluye su pregunta es:

P(no se enfrentan en 1ª ronda y ambos ganan) $\times$ P(no se enfrentan en 2ª ronda y ambos ganan)

\= $\dfrac67\cdot\dfrac14 \times \dfrac23\cdot\dfrac14 = \dfrac1{28}$

Añadido

Para la primera parte de la pregunta P( A y B se encuentran), la forma de resolver de OP parece la más sencilla.

Existen $\binom82$ parejas posibles, $7$ partidos, y una pareja sólo puede jugar un partido, por lo que $\dfrac7{\binom82}= \dfrac14$

Del mismo modo, en la misma línea,
la forma más sencilla de calcular P(A y B se encuentran en la final) $=\dfrac{1}{\binom82} = \dfrac1{28}$ ,

bur OP quería un método que continuara por el camino iniciado.

Answer 5

Trabajo en curso

Probabilidad de que los jugadores se encuentren en la primera ronda:

Como hay 8 jugadores, la probabilidad de encuentro es $1/7$ (la posibilidad de que estén juntos).

Probabilidad de que los jugadores se encuentren en la segunda ronda (dado que no se han encontrado en la primera ronda, que es $6/7$ ):

Como quedan 4 jugadores, la probabilidad de que se encuentren es de 6/7 (véase más arriba) * 1/2 (la probabilidad de que la persona 1 lo consiga) * 1/2 (la probabilidad de que la persona 2 lo consiga) * 1/3 (la probabilidad de que estén juntos), es decir $1/14$ .

Probabilidad de que los jugadores se enfrenten en la tercera ronda (dado que no se han enfrentado en las dos primeras rondas, lo que es $13/14$ ):

Como quedan 2 jugadores, la probabilidad de encuentro es 13/14 * 1/2 * 1/2 * 1/1, es decir $13/56$ .

$1/7 + 1/14 + 13/56$ es la respuesta.