Si $f(x)=x^3+e^\frac{x}{2}$ calcular $\frac{d}{dx} \left(f^{-1}(x)\right) \text{at$ ~~x=1 $}$

Question

Si $f(x)=x^3+e^\frac{x}{2}$ Necesitamos calcular $$\frac{d}{dx} \left(f^{-1}(x)\right) \text{at$ ~~x=1 $}$$ Intenté encontrar $f^{-1}(x)$ pero no pude

Una pista que recibí decía Si $f(x)$ y $g(x)$ son inversas entre sí, entonces $$f^{'}(\alpha).g^{'}(\beta)=1$$

Dónde $(\alpha,\beta)$ es cualquier punto de $f(x)$

Esto me ayudó a obtener la respuesta, pero ¿cómo podemos demostrar la condición anterior dada como una pista?

Todas las sugerencias para deducir la condición son bienvenidas

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(0)=1$ . (También, $f$ es estrictamente creciente en $(0,\infty)$ por lo que es uno a uno).

Por lo tanto, $f^{-1}(1)=0$ y $(\frac d {dx} f^{-1}(x))_{x=1}=\frac 1 {f'(f^{-1}(1))}=\frac 1 {f'(0)}=2$ .

Answer 2

Sé muy bien que puedes encontrar la respuesta a tu pregunta (una derivada de la función inversa) Pero supongo que usted está buscando la explicación de por qué $f'(\alpha)\times g'(\beta) = 1$ donde $(\alpha, \beta) $ es un punto en $y = f(x)$

Al principio, permítanme decirles que soy malo en matemáticas lo que voy a explicar es sólo lo que me podía imaginar

• Qué es una función inversa:

Si $y = f(x)$ es alguna función entonces la función obtenida cambiando el eje Y con el eje X es inversa.

• Por qué $f'\times g' = 1$ La tangente a $y = f(x) $ debe ser perpendicular a la tangente de $f^{-1}(x)$ Ahora bien, si la pendiente de la tangente a la función $y = f(x)$ es $f'(x)_{\alpha}$ entonces la pendiente de la tangente a su función inversa debe ser igual al recíproco ( $-\frac 1{f'(x)_{x = g(x)}}$ )Sin embargo, su vista ha sido cambiada(girada 90 grados) el signo negativo no estará allí;

Así,

$$g'(x) = \frac d{dx}f^{-1}(x) = \frac 1{f'(g(x))} = \frac 1{f'(f^{-1}(x))}$$