Comparación del teorema de convergencia limitada (BCT), el teorema de convergencia monótona (MCT) y el teorema de convergencia dominada (DCT)

Question

Intento comprender la relación entre los siguientes teoremas:

Teorema de convergencia limitada (BCT) :

Para una secuencia uniformemente acotada $f_n \to f$ a.e. en un conjunto $E$ de medida finita, tenemos

$$ \lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E \lim_{n \to \infty} f_n $$

Teorema de convergencia monótona (TMC) :

Si $f_n \ge 0$ y $f_n \uparrow f$ a.e., entonces

$$ \int f_n \to \int f $$

Teorema de convergencia dominada (DCT) :

Si $f_n \to f$ a.e., $|f_n| \le g$ , $\int g < \infty$ entonces

$$ \int \lim f_n = \lim \int f_n $$

Intento comprender cómo se inducen estos teoremas de convergencia a partir de la convergencia uniforme, el teorema de Egorov y el lema de Fatou.

Otro tema que quiero explorar es si estos teoremas de convergencia tienen relaciones análogas dentro de continuidades de secuencias (sin las integrales), así como si estos teoremas de convergencia que implican integrales son subconjuntos/superconjuntos unos de otros. Me gustaría averiguar qué casos son más generales y qué tipos de casos específicos hacen que un teorema de convergencia sea equivalente a otro.

Answer 1

Una vez que tienes el MCT, todo lo demás viene después.

En primer lugar, podemos demostrar que el lema de Fatou se deduce de MCT.

Prueba: Supongamos $f_n \geqslant 0$ y definir $g_m = \inf_{k \geqslant m} f_k$ . De ello se deduce que $g_m \leqslant f_n$ y $\int g_m \leqslant \int f_n$ para todos $n \geqslant m$ . Así, $\int g_m \leqslant \liminf_{n \to \infty} \int f_n$ . La secuencia $(g_m)$ es creciente y por definición $\lim_{m \to \infty} g_m = \liminf_{n \to \infty} f_n$ . Por la MCT, se deduce que

$$\int \liminf_{n \to \infty} f_n = \int\lim_{m \to \infty} g_m = \lim_{m \to \infty}\int g_m \leqslant \liminf_{n \to \infty} \int f_n\quad \text{(Fatou's lemma)}$$

Entonces podemos demostrar que la DCT se deduce del lema de Fatou.

Demostración: Podemos suponer WLOG que $f_n \to f$ . (en caso contrario redefinir adecuadamente en el conjunto de medida cero donde $f_n \not\to f$ ). Dado que $|f_n| \leqslant g$ tenemos $g+f_n \geqslant 0$ . Utilizando el lema de Fatou, se deduce que

$$\int g + \int f = \int(f+g) \leqslant \liminf_{n \to \infty}\int(g + f_n) = \int g + \liminf_{n \to \infty}\int f_n,$$

y, por lo tanto,

$$\tag{*} \int f \leqslant \liminf_{n \to \infty}\int f_n$$

Del mismo modo, aplicando el lema de Fatou a $g- f_n \geqslant 0$ obtenemos

$$\tag{**} \limsup_{n \to \infty} \int f_n \leqslant \int f$$

Juntos (*) y (**) implican que

$$\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f \quad \text{(DCT)}$$