En preguntas que impliquen funciones suelo que contengan coeficientes binomiales, como el ejemplo 368 de la imagen publicada, donde se pregunta
para $n$ un entero no negativo, demuestre que los enteros $\lfloor{(1+\sqrt{2})^n\rfloor}$ son alternativamente par e impar.
La solución comienza con "Por el teorema del binomio, $(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n$ ..."
Quisiera algunas aclaraciones sobre el inicio de los pasos de la solución.
Mis preguntas son las siguientes:
1) ¿De qué manera la adición del término $(1-\sqrt{2})^n$ se deducen del teorema del binomio?
2) ¿Se debe a que los coeficientes de las expansiones binomiales tienen la forma de $a+\sqrt{b}$
3)¿Cómo supo el autor utilizar $(1-\sqrt{2})^n$ para obtener la parte fraccionaria de $(1+\sqrt{2})^n$ ?
4) Si cambio los términos por algo distinto de $(a+\sqrt{b})$ a $(m + n)$ donde m y n tienen algún otro tipo de valores, como funciones trascendentales evaluadas en valores particulares, fracciones de diferentes valores, raíz n-ésima de diferentes valores, etc, no creo que pueda decir fácilmente que $(m-n)^n$ es la parte fraccionaria de $(m+n)^n$ . Básicamente, ¿funcionaría la misma técnica para todos ellos?
Gracias de antemano. 
