Encontrar una base de la imagen de un mapa lineal inverso

Question

Supongamos que tenemos un mapa lineal $f:U \to W$ . Si nos dan $V \subset W$ ¿cómo podemos determinar una base de $f^{-1}(V)$ ?

Answer 1

Considere una base $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ del núcleo de $f$ y vectores $u_1,u_2,\dots,u_k$ de $U$ tal que $\{f(u_1),f(u_2),\dots,f(u_k)\}$ es una base de $V\cap f(U)$ .

Reclamación: $\{x_1,\dots,x_n,u_1,\dots,u_k\}$ es una base para $f^{-1}(V)$ .

Obsérvese en primer lugar que todos esos vectores pertenecen a $f^{-1}(V)$ . Si $u\in f^{-1}(V)$ entonces $$ f(u)=\beta_1f(u_1)+\dots+\beta_kf(u_k) $$ Establecer $u'=\beta_1u_1+\dots+\beta_ku_k$ y observe que $u-u'\in\ker f$ Así que

Supongamos que $$ \alpha_1x_1+\dots+\alpha_nx_n+\beta_1u_1+\dots+\beta_ku_k=0 $$ A continuación, aplicando $f$ obtenemos que $$ \beta_1f(u_1)+\dots+\beta_kf(u_k)=0 $$ así que