Mostrar que hay infinitamente muchas soluciones de los distintos números naturales $m,n$ tal que $n^3+m^2\mid m^3+n^2$

Question

Mostrar que hay infinitamente muchas soluciones de distintos números naturales $m,n$ tal que $n^3+m^2\mid m^3+n^2$.

Esta pregunta apareció en la Ronda $2$ de los Británicos Olimpíadas de Matemáticas $2007-08$. He estado tratando este problema desde hace dos días. Y tengo ninguna secuencia de números de satisfacciones.

Answer 1

Elija $a\in\mathbb{N}$, y establecer $m=an$. A continuación, la condición se vuelve $n^3+a^2n^2|a^3n^3+n^2$, lo que equivale a $$n+a^2|a^3n+1$$

Nosotros ahora nos preparamos $n=a^5-a^2-1$ y ver que $$(a^3-1)(n+a^2)=(a^3-1)(a^5-1)=a^8-a^5-a^3+1=a^3n+1$$

Actualización, tirando hacia atrás el velo: busqué $k$ tal que $k(n+a^2)=a^3n+1$ y yo podría resolver por $n$. Después de uno o dos falsos intentos que he intentado $k=a^3-1$.

Answer 2

Como Vadim mostró, con $m=an$ rendimientos

$$n + a^2 | a^3 n + 1$$

Esto implica que

$$a^5 - 1 \equiv a^5 + a^3 n - a^3n - 1 \equiv 0 \pmod{a^2 + n}$$

Esto sugiere inmediatamente el uso de $n = a^5 - a^2 - 1$, como en Vadim de la solución. La ventaja es que no necesitas hacer cualquier tipo de conjeturas, o expandir el producto.

De hecho, desde el $a^5 - 1 = (a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)$, también podría utilizar

$$n = a^4 + a^3 + a + 1$$

---

Esto también muestra cómo caracterizar todas las soluciones. Empezar con cualquier número entero positivo $a$, calcular los factores de $a^5-1$ que son mayores de $a^2$, lo que determina el valor de $n$.

Nota: Porque queremos que $n$ a ser positivo, ninguno de los otros factores (con coeficientes enteros) trabajará para generar una familia de soluciones.