Geodésicas que son líneas de curvatura de superficies en el espacio euclidiano

Question

Cómo demostrar que si una curva C en una superficie es a la vez una línea de curvatura y una geodésica, entonces C es una curva plana.

Gracias

Answer 1

Como menciona Ryan Budney en los comentarios, una curva (con curvatura no evanescente) es plana si y sólo si su torsión es cero. Por lo tanto, vamos a demostrar que la torsión es cero.

Notación: Sea $\{t, n, b\}$ denota el marco de Frenet, y sea $N$ denotan el vector normal a la superficie. Sea $\kappa_n$ denota la curvatura normal, y $\kappa$ la curvatura (extrínseca).

Edita: Hm, estoy pensando que sería mejor escribir la solución como una serie de pistas.

1. Demuestre que ser una geodésica implica que $\kappa = \kappa_n$ y $n = \pm N$ .

2. Demuestre que el hecho de ser una línea de curvatura implica que $$\frac{dN}{ds} = -\kappa_nt.$$

3. Concluya que la torsión es cero utilizando $\tau = \frac{dn}{ds} \cdot b$ .

Nota: Puede ser útil suponer que $\kappa \neq 0$ y $\kappa_n \neq 0$ . Se trata de una suposición aceptable porque si $\kappa = 0$ o $\kappa_n = 0$ entonces la curva se reduce a una recta (¿por qué?) y el resultado es trivial.

Answer 2

He aquí otra manera de mostrar explícitamente el plano que contiene a $C$ . Permítanme llamar $S$ la superficie cuya línea de curvatura $C$ es geodésica. Sea $p \in C$ y que $v_p$ un vector tangente distinto de cero a $S$ perpendicular a $C$ en $p \in S$ . Utilizando el transporte paralelo intrínseco de $S$ ampliar $v_p$ a un campo vectorial paralelo $v$ a lo largo de $C$ . Desde $C$ es geodésica $v$ es siempre perpendicular a $C$ de ahí $v$ es siempre un vector propio del operador de forma de $S$ . Afirmamos que $v$ considerado como campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ (a lo largo de $C$ ) es constante. Es decir, $D_{C'} v$ la derivada de $v$ a lo largo de $C$ en $\mathbb{R}^3$ es idénticamente cero. En efecto, la componente tangente (a la superficie $S$ ) de $D_{C'}v$ es cero debido a la construcción de $v$ es decir, dicha componente tangente es la derivada covariante intrínseca de $S$ . La componente normal de $D_{C'} v$ es la segunda forma fundamental de $S$ por ejemplo $v$ y $C'$ que también es cero ya que ambos $C'$ y $v$ son vectores propios del operador de forma de $S$ . Así $C$ está contenido en el plano que pasa por $p$ normal al vector $v_p$ .

Una prueba aún más sencilla: considere la cruz $C' \times N$ . La derivada de la cruz a lo largo de $C$ es cero, por lo que la cruz es constante a lo largo de $C$ . Entonces $C$ está contenido en el plano a través de cualquiera de sus puntos perpendiculares a la cruz.