Demostración de la fórmula integral de Cauchy

Question

¿Cómo demuestro la fórmula integral de Cauchy?

A saber:

Sea $D$ sea un dominio simple y conexo en $\mathbb C$ y $C$ sea una curva simple, cerrada, orientada en sentido contrario a las agujas del reloj, contenida en $D$ .

Sea $z_0$ sea un punto del interior del dominio delimitado por $C$ y supongamos que $f$ es holomorfa y que $f'$ es continua en $D$ . Entonces:

$$\int_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2 \pi i f(z_0)$$

Sé que tenemos que usar, en algún sitio, el teorema integral de Cauchy. Eso si $D$ está simplemente conectada en $\mathbb C$ y $f$ es holomorfa y tiene una derivada continua, y si $C$ es una curva simple, cerrada y orientada en sentido contrario a las agujas del reloj en $D$ entonces $\int_{C} f(z) dz = 0$ .

Pero la función $z \rightarrow \frac{f(z)}{z - z_0}$ no es continua ni diferenciable en $D$ por lo que tenemos que descomponer el dominio de integración en dos partes. La primera parte dará una integral de $0$ y la segunda parte será la que dé el resultado.

Lo primero que se me ocurrió fue añadir $f(z_0)$ y restándolo en el numerador de $\frac{f(z)}{z - z_0}$ porque es tentador. Después, debería utilizar la continuidad o el hecho de que $f$ es holomorfo para hacer algo con eso. Pero aún así, estoy atascado en cómo debo descomponer el dominio de integración y empezar.

¿Puede alguien echarme una mano con esto? Quizás simplemente explicarme cómo debo descomponer el dominio de integración.

Sé que podría haber encontrado una respuesta en Internet, pero quiero una pista o alguna ayuda con el punto de partida para poder trabajarlo yo mismo.

Gracias.

Answer 1

$$ \int_C \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i. $$ Por lo tanto $$ \int_C \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). \tag 1 $$ Si puedes demostrar que la integral en $(1)$ es lo mismo que $$ \int_C \frac{f(z)}{z-z_0} \, dz $$ entonces tienes $$ \int_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0), $$ que es el resultado.

Basta con demostrar que $$ \int_C \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0. $$ Sea $$ g(z) = \begin{cases} \dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} & \text{if }z\ne z_0, \\[10pt] f'(z_0) & \text{if }z=z_0. \end{cases} $$ A ver si puedes demostrar $g$ es holomorfa e intentar obtenerla a partir de ahí.