¿Hay alguna forma más difícil de demostrar que si la derivada de una curva integral desaparece, entonces la curva es constante?

Question

En el contexto de la geometría diferencial, tenemos un campo vectorial liso $X$ y una curva integral de $X$ llamado $\gamma$ tal que $\exists\ t_0 \in \mathbb{R}$ con $\gamma'(t_0) = 0$ . El ejercicio pide demostrar que en esas condiciones, $\gamma$ es constante.

Invocando el teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales fácilmente demostrables.

Me preguntaba si habría otra forma más indirecta y "a mano".

Gracias.

PD: No creo que sea una pregunta duplicada, ya que no es lo mismo tener una curva integral a una colector arbitrario que tenerla a $\mathbb{R^n}$ . Por supuesto, dada la respuesta de Anthony, puedo ver que esta pregunta específica puede ser respondida por reduciendo al otro caso. Pero también podría haber otra respuesta que adopte un enfoque diferente.

Answer 1

Desde $X$ es suave, podemos elegir coordenadas locales con origen $\gamma(t_0)$ de forma que los componentes de $X$ satisfacen una condición de Lipschitz, es decir $|X(x) - X(y)| \le C|x-y|$ para alguna constante $C$ . En particular, sustituyendo $x=0$ y $y=\gamma(t)$ y recordando $\gamma'(t_0) = X(0)=0$ tenemos $$|\gamma'(t)|=|X(\gamma(t))| \le C|\gamma(t)|.$$ Desde $\frac d{dt} |\gamma(t)|^2 \le 2|\gamma(t)||\gamma'(t)|$ se obtiene la desigualdad diferencial $$\frac{df}{dt}\le 2Cf$$ para la función diferenciable $f(t)=|\gamma(t)|^2$ por lo que la desigualdad de Gronwall junto con nuestra condición inicial $f(t_0) = 0$ nos dice que $f(t) \le 0$ . Desde $f$ es manifiestamente no negativo, concluimos que $f \equiv 0$ y así $\gamma$ es constante.