Sea $Y\sim G$ . Mostrar $P(G(Y)\leq t)\leq t$

Question

Sea $Y$ sea una RV con cdf G. Sea $G^{-1}$ Denotemos la función cuantil de Y (¿o de G? No estoy seguro de la terminología aquí).

Mi intento;

$$P(G(Y)\leq t) \overset{*}{=} P(Y \leq G^{-1}(t))=G(G^{-1}(t))$$

Realmente creo que esto es correcto - el * es sólo la igualdad de conjunto; $$\{y|F(y) \leq t\} = \{y|y \leq F^{-1}(t)\}$$ Lo que se deduce directamente de la def. de la función cuantil ¿no? Me estoy volviendo loco aquí - por favor ayuda - ya que si esto es correcto entonces obtengo el resultado al revés;

$P(G(y) \leq t) \geq t$

Answer 1

Por las propiedades de las funciones cuantílicas, tenemos $G^{-1}(t) \leq x$ sólo si $t \leq G(x)$ . Para uniforme estándar $U$ Esto implica $P(G^{-1}(U) \leq x) = P(U \leq G(x)) = G(x)$ Así que $G^{-1}(U)$ y $Y$ tienen la misma distribución. De nuevo por las propiedades de las funciones cuantiles, tenemos $G(G^{-1}(t)) \geq t$ Así que $G(G^{-1}(U)) \geq U$ casi seguro. Concluya $$P(G(Y) \leq t) = P(G(G^{-1}(U)) \leq t) \leq P(U \leq t) = t.$$ El capítulo 21 del libro de van der Vaart sobre estadística asintótica enumera y demuestra las propiedades de los inversos generalizados que estoy utilizando aquí, aunque estoy seguro de que muchos libros de estadística enumeran éstas y otras propiedades relacionadas.