Halla la longitud del bucle de la curva dada: $x=3t-t^3$ $y=3t^2$

Question

He utilizado la fórmula de la longitud de arco (donde se toma la integral de la raíz cuadrada de x' al cuadrado + y' al cuadrado $\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$ ) para obtener $t^3 + 3t + C$ que parece ser la respuesta equivocada. No sé qué he hecho mal. Por favor, dime la respuesta correcta y por qué mi solución era incorrecta. Gracias

Answer 1

Si el camino descrito hace un bucle, entonces habrá 2 valores $t_1$ y $t_2$ tal que $ \begin{bmatrix} x(t_1) \\ y(t_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(t_2) \\ y(t_2) \end{bmatrix} $ así que..:

$$\begin{bmatrix} 3t_1 - t_1{}^3 \\ 3t_1{}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3t_2 - t_2{}^3 \\ 3t_2{}^2 \end{bmatrix}$$

En $3t_1{}^2 = 3t_2{}^2$ obtenemos $t_1 = -t_2$ y de $3t_1 - t_1{}^3 = -3t_1 + t_1{}^3$ obtenemos que

$$t_1 = -\sqrt{3} \text{ and }t_2 = \sqrt{3}$$

Ahora, la fórmula para la longitud de trayectoria parametrizada es similar a la fórmula pitagórica, explícitamente:

$$L = \int_{t_1}^{t_2} { \sqrt{ \left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)^2 + \left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)^2 } {\rm d}t }$$

Y rellenando:

$$\begin{align} % L &= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} { \sqrt{ \left(6t \right)^2 + \left(3 - 3t^2 \right)^2 } {\rm d}t } % \\ &= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} { \sqrt{ 9t^4 + 18t^2 + 9 } {\rm d}t } % \\ &= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} { \left \vert 3t^2 + 3 \right \vert {\rm d}t } % \\ &= t^3 + 3t ~\bigg\vert_{t = -\sqrt{3}}^{t = \sqrt{3}} % \\ &= 12 \sqrt{3} % \end{align}$$

Answer 2

Demasiado largo para comentarlo ( no es una respuesta ) $$ x'=3(1-t^2), \enspace y'=3\cdot 2t\\ x'^2 + y'^2 = 3^2 [(1-t^2)^2 + (2t)^2] = 3^2 (1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2) = 3^2 (1 + t^2)^2\\ \sqrt{x'^2 + y'^2} = 3(1+t^2)\\ \int \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt = t^3 + 3t + C $$ ¿Por qué "parece ser la respuesta equivocada"?

Answer 3

Hay tres lugares en los que $x(t)=0$ a saber $t\in\{0,\pm\sqrt3\}$ .

De ellos, sólo $\pm\sqrt3$ arroja valores iguales para $y(t)$ por lo que los límites del bucle deben ser $[-\sqrt3,\sqrt3]$ .

Integrando la longitud de arco diferencial, se obtiene $$t^3+3t|_{-\sqrt3}^\sqrt3=6\sqrt3-(-6\sqrt3)=12\sqrt3$$

Answer 4

Primero hay que determinar $t_1$ y $t_2$ con $t_1<t_2$ tal que $$ (x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2)). $$ Tenemos: $$ (x(t),y(t))=(x(s),y(s))\iff \left\{ \begin{array}{lcl} 3t-t^3-3s+s^3&=&0\\ 3s^2-3t^2&=&0 \end{array}\right.. $$ Puesto que buscamos $t_1$ y $t_2$ con $t_1<t_2$ deducimos de la segunda ecuación del sistema anterior que $s=-t$ . La primera ecuación de nuestro sistema se convierte entonces en: $$ 3t-t^3=t(3-t^2)=0, $$ es decir $$ t=0,\pm\sqrt{3}. $$ Por lo tanto $$ t_1=-\sqrt3=-t_2,\quad t_2=\sqrt3. $$ La longitud del bucle es entonces: \begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt&=&\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(3-3t^2)^2+(6t)^2}\,dt=\int_{-t_2}^{t_2}\sqrt{3^2[(1-t^2)^2+4t^2]}\,dt\\ &=&2\cdot3\int_0^{t_2}\sqrt{1-2t^2+t^4+4t^2}\,dt=6\int_0^{t_2}\sqrt{1+2t^2+t^4}\,dt\\ &=&6\int_0^{t_2}\sqrt{(1+t^2)^2}\,dt=6\int_0^{t_2}(1+t^2)\,dt\\ &=&6\left[t+\frac13t^3\right]_0^{t_2}=6t_2+2t_2^3=6\sqrt3+2\cdot3\sqrt3=12\sqrt3. \end{eqnarray}