Derivada de funciones de valores complejos y derivadas parciales.

Question

Permite que $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$

1. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en $z_0$
2. $u, v, u_x, u_y, v_x, v_y$ están definidas en algún entorno abierto de $z_0$
3. $u, v, u_x, u_y, v_x, v_y$ son continuas en $z_0$

$\implies f'(z_0)$ existe.

¿Puedes mostrarme una función compleja $f$ tal que $f'(z_0)$ exista pero al menos uno de los puntos $(2)$ o $(3)$ no se cumple? En otras palabras, ¿hay un contraejemplo para la afirmación inversa?

El libro se esforzó mucho para mostrar que la afirmación inversa es verdadera si $f$ es analítica en $z_0$. Por lo tanto, existe la posibilidad de que las cosas se desmoronen en general.

Answer 1

Sea $g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ una función acotada arbitraria. Entonces para $f(z)=z^2g(z)$, por definición, $f'(0)$ existe y es $0$. Sin embargo, puedes elegir $g$ lo más patológica posible, de modo que $u$ y $v$ no tengan continuidad en absoluto en $\mathbb{C}\backslash\{0\}$.