La verdad es que no sé por dónde empezar. Primero pensé en ampliar $\sin(\pi z - 1/2)$ utilizando la serie de Maclaurin y descomponer el denominador mediante factorización, pero no tengo ni idea a partir de aquí.
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user299698
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Sea $z=1/2+w$ entonces $$\frac{\sin (\pi z)}{4z^2-1}=\frac{\sin (\pi/2 +\pi w)}{4(1/2+w)^2-1} =\frac{\cos(\pi w)}{4w(1+w)}.$$ Recordemos ahora que la expansión de $\cos(\pi w)$ y $(1+w)^{-1}$ en $0$ : para $w\in\mathbb{C}$ , $$\cos(\pi w)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(\pi w)^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{\pi^2 w^2}{2}+O(w^4)$$ y para $|w|<1$ , $$\frac{1}{1+w}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k w^k=1-w+w^2+O(w^3).$$ De ahí que los primeros términos de la expansión de Laurent en $w=0$ se puede encontrar expandiendo $$\frac{1}{4w}\left(1-\frac{\pi^2 w^2}{2}+O(w^4)\right)\left(1-w+w^2+O(w^3)\right).$$ ¿Puedes seguir desde aquí?
Benjamin Edun
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Su expansión debe ser en potencias negativas de $\frac{1}{z-\frac{1}{2}}$ o cualquier factor de eso. $$\frac{1}{4z^2-1}= \frac{1}{4z^2}\frac{1}{1-(\frac{1}{2z})^2}$$ Taylor expansión de, $$sin(\pi z)=\pi z - \frac{(\pi z)^3}{3!} +\frac{(\pi z)^5}{5!}-\frac{(\pi z)^7}{7!}...........$$ $$sin(\pi z)\frac{1}{4z^2-1}=sin(\pi z) \frac{1}{4z^2}\frac{1}{1-(\frac{1}{2z})^2} $$ $$=\frac{1}{4}\frac{1}{1-(\frac{1}{2z})^2}\Bigg(\frac{\pi}{z}- \frac{\pi ^3 z}{3!}+\frac{\pi^5 z^3}{5!}-\frac{\pi^7 z^5}{7!}....................\Bigg)$$ Esta es probablemente la expansión de Laurent más simple que se me ocurre, los otros métodos pueden implicar encontrar el producto de Cauchy.
