Encontrar $\det(f(A))$ dados los valores propios de $A$ .

Question

Consideremos una matriz $A$ con valores propios dados. Dada cualquier expresión que implique $A$ y su inversa como $f(A)$ . Si deseo encontrar $\det(f(A))$ ¿hay algún enfoque algorítmico que pueda seguirse para lograr el resultado? Por ejemplo, considere el siguiente problema:

Valores propios de $A$ son $1,2,-1$ , $B=f(A)=I+A-A^{-1}+A^{2}$ . Visite $\det(B)$ .

No tengo ni idea de cómo plantear un enfoque generalizado para resolver este tipo de problema. Está absolutamente claro que el teorema de Cayley Hamilton tiene que utilizarse de alguna manera, pero cómo exactamente no está claro. Agradecería cualquier pista. Muchas gracias.

Answer 1

Según el Teorema del Mapeo Espectral, los valores propios de $f(A)$ son precisamente $$f(1), f(2), f(-1)$$ y por tanto como el determinante es el producto de los valores propios $$\det f(A) = f(1)f(2)f(-1).$$ En general, tenemos $$\det f(A) = \prod_{\lambda \in \sigma(A)} f(\lambda)$$ donde los valores propios se toman con multiplicidad.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ Si $A$ tiene todos los valores propios distintos, entonces es de la forma $S\Lambda S^{-1}$ donde $S$ es la matriz de sus vectores propios y $\Lambda$ es la matriz diagonal de sus valores propios --- esta es la diagonalización de $A$ . Si $f$ es una función racional, entonces se puede demostrar fácilmente que $f(S\Lambda S^{-1}) = S f(\Lambda) S^{-1}$ y, en consecuencia, que los valores propios de $f(A)$ son precisamente $f(\lambda)$ donde $\lambda$ es un valor propio de $A$ . A continuación, utilice el hecho de que el determinante es un producto de los valores propios para obtener, como también se menciona en la otra respuesta, $$\det f(A) = \prod_{\lambda}f(\lambda)$$ donde el producto recorre todos los valores propios $\lambda$ de $A$ .

Esto también es válido aunque $A$ no tiene valores propios distintos. Esto se debe a que todas las matrices (sobre $\mathbb C$ ) admiten una Forma canónica de Jordan que puede utilizarse de forma similar a la idea de diagonalización para resolver el problema. En concreto, sólo tenemos que resolverlo para cada bloque de Jordan de la forma $$J=\begin{bmatrix}\lambda&1&&&\\&\lambda&1&&\\&&\ddots&&\\ &&&\lambda&1\\ &&&&\lambda\end{bmatrix}$$ que tiene valor propio $\lambda$ y podrá comprobar por sí mismo que $J^n$ tiene efectivamente valores propios $\lambda^n$ para todos $n$ . (Sólo tienes que calcular $J^n$ explícitamente y leer los elementos diagonales).

La conclusión puede resumirse sucintamente así $f(\Spec A) = \Spec f(A)$ donde $\Spec$ (también escrito $\sigma$ ) denota el "espectro" de $A$ es decir, su conjunto de valores propios contados con multiplicidad. Esto resuelve el problema, ya que el determinante no es más que el producto por el espectro de la matriz.