Álgebras C* separables y estados de tipo I

Question

Sea $A$ sea un separable $C^*$ -y que $\omega$ sea un estado en $A$ . Entonces existe una medida de probabilidad "ortogonal" $\mu$ en el espacio de estado puro $P(A)$ de $A$ tal que $\omega(x) = \int_{P(A)} \psi(x) \, d\mu(\psi)$ [Takesaki 1, IV.6.28]).

Si he entendido bien la ortogonalidad de $\mu$ significa que la representación GNS de $\omega$ es (unitariamente equivalente a) una integral directa: $$ (H_\omega,\pi_\omega) = \int_{P(A)}^\oplus (H_\psi,\pi_\psi) \, d\mu(\psi) $$ y $\Omega_\omega = \int_{P(A)}^\oplus \Omega_\psi\,d\mu(\psi)$ (véase por ejemplo [Takesaki 1, IV.8.31].

¿Pero esto no implica que el álgebra de von Neumann $\pi_\omega(A)''$ adopta la forma $$\pi_\omega(A)'' = \int_{P(A)}^\oplus\pi_\psi(A)'' \,d\mu(\psi) = \int_{P(A)}^\oplus B(H_\psi) \,d\mu(\psi)$$ (porque $\psi$ es puro se tiene $\pi_\psi(A)''=B(H_\psi)$ ). Esto implicaría que $\pi_\omega(A)''$ es un álgebra de von Neumann de tipo I ya que se puede escribir como una integral directa de factores de tipo I, ¿no? El argumento debe ser erróneo, ya que no todos los estados en un separable $C^*$ -álgebra es un estado de tipo I (véase la respuesta a esta pregunta Estados factoriales en álgebras C ).

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

No creo que $\pi_\omega(A)''$ tiene esa forma. Por ejemplo, tomemos $A = M_2$ y que $\omega$ sea la traza normalizada. Entonces $\omega = \frac{1}{2}(\psi_1 + \psi_2)$ donde $\psi_i(x) = \langle xe_i, e_i\rangle$ para $x \in M_2$ y $\{e_1,e_2\}$ la base estándar de $\mathbb{C}^2$ . Es decir, $\omega$ es la integral $\int \psi\, d\mu(\psi)$ donde $\mu = \frac{1}{2}(\delta_{\psi_1} + \delta_{\psi_2})$ . Entonces $\pi_\omega(M_2)'' \cong \pi_{\psi_1}(M_2)'' \cong \pi_{\psi_2}(M_2)'' \cong M_2$ Así que $\pi_\omega(M_2)'' \not\cong \pi_{\psi_1}(M_2)'' \oplus \pi_{\psi_2}(M_2)''$ .

Tenemos un isomorfismo entre $H_\omega$ y $H_{\psi_1} \oplus H_{\psi_2}$ que lleva $\pi_\omega(x)$ à $\pi_{\psi_1}(x) \oplus \pi_{\psi_2}(x)$ , pero por supuesto eso no hace $\pi_\omega(A) \cong \pi_{\psi_1}(A) \oplus \pi_{\psi_2}(A)$ .