El término "teoría de Yang-Mills" en el problema de la brecha de masa se refiere a una QFT particular. Se cree que esta QFT (es decir, su espacio de Hilbert de estados y sus operadores observables) debe definirse en términos de una medida en el espacio de conexiones en $\mathbb{R}^4$ a grandes rasgos, los momentos de esta medida son los elementos matriciales de las distribuciones valoradas por operadores. (También se utiliza el término "teoría gauge" para referirse a cualquier QFT, como la QCD, que tenga una subteoría de Yang-Mills).
El problema de la brecha de masa tiene en realidad dos aspectos: En primer lugar, hay que construir una medida adecuada $d\mu$ en algún espacio de conexiones. A continuación, hay que averiguar qué funciones en el espacio de conexiones son integrables con respecto a esta medida, y demostrar que la colección correspondiente de operadores incluye un operador de energía (es decir, un generador de traslaciones temporales) que tiene un hueco en su espectro.
Tendrá que leer la bibliografía para aprender realmente algo sobre este tema, pero puedo hacer algunas puntualizaciones para ayudarle en su camino. Te advierto de que lo que sigue es una caricatura. (Espero que útil para la gente que intenta aprender estas cosas).
Acerca de la medida:
En primer lugar, la medida no está realmente definida en el espacio de conexiones. Más bien, debería definirse en el espacio $\mathcal{F}$ de funciones lineales continuas en el espacio $\mathcal{S}$ de suaves evanescencias rápidas $\mathfrak{g}$ -sobre $\mathbb{R}^4$ donde $\mathfrak{g}$ es el álgebra de Lie del grupo gauge $G$ . El espacio ; $\mathcal{F}$ contiene el espacio de conexiones, ya que cualquier conexión en $\mathbb{R}^4$ puede escribirse como $d$ más un $\mathfrak{g}$ -valorado $1$ -y emparejado con un campo vectorial a través de la forma de Killing, pero también tiene muchos más elementos "distribucionales".
Se supone que tenemos $d\mu$ como el "límite infinito-volumen/continuo" de una colección de medidas regularizadas. Esto significa que vamos a escribir $\mathcal{S}$ como una unión creciente de espacios vectoriales finito-dimensionales elegidos $\mathcal{S}(V,\epsilon)$ estos espacios están atravesados por campos vectoriales elegidos que tienen soporte en algún volumen finito $V \subset \mathbb{R}^4$ y que varían lentamente en escalas de distancia menores que $\epsilon$ . (Imagínese que elegimos una base wavelet para $\mathcal{S}$ .) A continuación vamos a construir una medida $d\mu_\hbar(V,\epsilon)$ en el espacio vectorial dual de dimensión finita $\mathcal{F}(V,\epsilon) = \mathcal{S}(V,\epsilon)' \subset \mathcal{F}$ ; estas medidas tendrán la forma $\frac{1}{\mathcal{Z}(V,\epsilon,\hbar)} e^{-\frac{1}{\hbar}S_{V,\epsilon,\hbar}(A)}dA$ . Toma, $dA$ es la medida de Lesbesgue en $\mathcal{F}(V,\epsilon)$ y $S_{V,\epsilon,\hbar}$ es alguna discretización de la acción de Yang-Mills, que se adapta al subespacio $\mathcal{F}(V,\epsilon)$ . (Normalmente, se utiliza alguna versión de la acción reticular de Wilson).
La existencia de la medida de Yang-Mills significa que se puede elegir $S_{V,\epsilon}$ en función de $V$ , $\epsilon$ y $\hbar$ de modo que el límite $d\mu_\hbar$ existe como medida en $\mathcal{F}$ como $vol(V)/\epsilon \to \infty$ . También exigimos que el $\hbar \to 0$ límite de $d\mu_\hbar$ se apoya en el espacio de puntos críticos de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills. (Queremos ajustar las acciones discretizadas para fijar el límite clásico).
Sobre las funciones integrables:
En general, las funciones que deseamos integrar deben expresarse en términos de "funciones de coordenadas" que asignan las $A$ à $A(f)$ donde $f$ es uno de los elementos base que utilizamos para definir los subespacios $\mathcal{S}(V,\epsilon)$ . Debería imaginarse que $f$ es un campo vectorial de protuberancia, apoyado cerca de $x \in \mathbb{R}^4$ de modo que estas funciones aproximen el mapa que envía a $\mathfrak{g}$ -valorado $1$ -forma al valor $A_{i,a}(x)$ de su $(i,a)$ -ésimo componente.
Hay tres advertencias a tener en cuenta:
En primer lugar, sólo queremos examinar las funciones en $\mathcal{F}$ que son invariantes bajo el grupo de transformaciones gauge. Por tanto, las funciones de coordenadas en sí no son válidas. Pero las combinaciones invariantes bajo transformaciones gauge, como la traza de la curvatura en un punto o la holonomía de una conexión alrededor de una espira, sí.
En segundo lugar, al expresar los observables en términos de funciones de coordenadas, hay que tener cuidado, porque las expresiones clásicas ingenuas no siempre son válidas. El valor de expectativa de la función $A \mapsto A_{i,a}(x)A_{j,b}(y)$ con respecto a $d\mu_\hbar$ (para $\hbar \neq 0$ ) va a ser singular como $x \to y$ . Esto está bien, porque esperábamos que estos momentos definieran los elementos matriciales de las distribuciones valoradas por operadores. Pero significa que tenemos que tener cuidado al considerar los valores de las expectativas de funciones como $A \mapsto A(x)^2$ . Para obtener cantidades bien definidas pueden ser necesarias algunas modificaciones. (El ejemplo más sencillo es la ordenación normal, que puede verse en muchas QFT bidimensionales).
Por último, el verdadero problema. La teoría Yang-Mills debe confinar. Esto significa, muy a grandes rasgos, que hay algunos observables que tienen sentido en la teoría clásica pero que no están bien definidos en la teoría cuántica; los efectos de la mecánica cuántica impiden los fenómenos que describen estos observables. En la formulación de la teoría de la medida, esto se ve observando cómo los valores de las expectativas de estos observables sospechosos divergen (o no permanecen integrables) a medida que nos acercamos al límite de volumen infinito.
Acerca de los operadores:
En la teoría clásica de Yang-Mills, las coordenadas observables $A \mapsto A_{i,a}(x)$ satisfacen ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Yang-Mills. Además, en la teoría clásica de campos, para estados puros, el valor de expectativa de un producto de observables $\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2...$ es el producto de los valores de las expectativas individuales. En la YM cuántica, la situación es más complicada: los observables de coordenadas pueden no estar bien definidos, gracias al confinamiento, y en cualquier caso, los observables sólo satisfacen ecuaciones de movimiento en un sentido bastante débil: Si $\mathcal{O}_1$ es una expresión que desaparecería en la teoría clásica gracias a las ecuaciones de movimiento, luego entonces el valor de expectativa de $\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2...$ es una distribución apoyada en los soportes de $\mathcal{O}_2...$ .
