Me gustaría tener un control sobre este ejercicio, que me pregunta si $\mathbb{R}$ con tres topologías diferentes, es compacto
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$\tau=$ { $U \subseteq \mathbb{R}: [-1,1] \subset U$ } $\cup$ { $\emptyset$ }
Diga si $\mathbb{R}$ es compacto.
Sea $\mathcal{R}$ sea una cubierta abierta de $\mathbb{R}$ . $\mathcal{R}=\cup_{i\in I}{A_i}$ . Si $A_i=(-1-i,1+i)$ , $i>0$ es una cubierta abierta, pero no puedo encontrar una subcubierta finita porque no cubriría la totalidad de $\mathbb{R}$ .
2.
Sea $\mathcal{B}=$ { $(a,b): a<0, b>1, a,b \in \mathbb{R}$ } la base que genera la topología $\tau$ . Diga si $\mathbb{R}$ es compacto.
También aquí, si tomo una cubierta abierta $\mathcal{R}=\cup_{i \in I}A_i$ con $A_i=(a-i,b+i)$ , $i>0$ su unión abarca todo el $\mathbb{R}$ pero sólo si es finito, entonces el conjunto no es compacto.
3.
Sea $\mathcal{B}=$ { $[a,+\infty): a \in \mathbb{R}$ } la base que genera la topología $\tau$ . Diga si $\mathbb{R}$ es compacto.
Considero que la tapa abierta $\mathcal{R}=\cup_{x\leq a}[a,+\infty)$ . Es abierto porque es la unión de conjuntos abiertos. Si hubiera una subcubierta finita, entonces podría parar a una $\overline{a}$ tal que $[\overline{a},+\infty)$ : pero en este caso esto no cubriría $(-\infty,\overline{a})$ por lo que no puedo encontrar una subcubierta finita, y $\mathbb{R}$ no es compacto.
