Pruebas $f'(x)>0$ implica una función creciente utilizando el Teorema de Bolzano-Weierstrass

Question

Utilizando el teorema de Bolzano-Weierstrass (para toda sucesión acotada existe una sucesión convergente), ¿cómo se demostraría que $f'(x)>0$ en un intervalo $[a,b]$ implica que $f(x)$ aumenta en $[a,b]$ es decir

$$f'(x)>0 \implies \forall x_1,x_2\in[a,b], \ f(x_1)<f(x_2) \ \text{for} \ x_1<x_2$$

He recibido instrucciones de proceder a una prueba por contradicción, y puedo ver vagamente cómo se haría para demostrarlo... $\exists \ x_3 \in[x_1,x_2]$ ...aún no veo cómo entra en juego el teorema de Bolzano Weierstrass.

Answer 1

Pues bien, para aplicar Bolzano-Weierstraß necesitamos primero una secuencia. ¿Cómo obtener esa secuencia? Bien, supongamos que la premisa es falsa. Entonces debe existir alguna $x_l,x_r\in [a,b]$ , $x_l < x_r$ tal que $f(x_l) \ge f(x_r)$

Toma el punto central $x_c = \frac{x_r+x_l}{2}$ . Hay 3 formas posibles de $f(x_c)$ puede relacionarse con $f(x_l)$ y $f(x_r)$ :

1. $f(x_c) > f(x_l) \ge f(x_r)$
2. $f(x_l) \ge f(x_c) \ge f(x_r)$
3. $f(x_l) \ge f(x_r) > f(x_c)$

Divide y vencerás (¿Puedes seguir desde aquí?)