¿Cómo afecta un grupo de órdenes impar al núcleo?

Question

Dado que G es un grupo abeliano y $\Psi: G\to G$ es un homomorfismo, ¿qué puede decirse del núcleo de $\Psi$ si $G$ ¿Ha ordenado impar?

Answer 1

Tiene orden impar.

No creo que se pueda decir mucho más con tanta generalidad: ya que $G$ es abeliano finito, para cada subgrupo $K$ de $G$ , $G$ tiene un subgrupo isomorfo a $G/K$ . .

Desde $G$ tiene un subgrupo $K$ de cualquier orden dividiendo $|G|$ puede elegir su subgrupo favorito de $G$ (que puede tener el orden de su divisor favorito de $|G|$ ), encontrar un subgrupo $H$ isomorfo de $G/K$ y mapa $G\to G$ asignando primero a $G/K$ y luego incrustar $G/K$ en $G$ mediante el isomorfismo con $H$ . Esto nos da un homomorfismo $\Psi\colon G\to G$ con precisamente $K$ como núcleo.

Por supuesto, no hay nada especial en la "orden impar" anterior. Puede hacerlo con cualquier orden.