Abundancia para superficies algebraicas

Question

Actualmente imparto un curso de geometría algebraica en el que uno de los objetivos es dar una visión general de la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira. Intento introducir algunos aspectos modernos, por lo que formulé el teorema del cono y lo utilicé (junto con la existencia de contracciones extremas) para demostrar que se puede reducir hasta $\mathbb P^2$ una superficie rayada o con $K_X$ nef. Eso funcionó bastante bien (la cantidad justa de detalles y no detalles). Sin embargo, siguiendo con el caso nef uno de los principales resultados es la abundancia (un múltiplo positivo de $K_X$ no tiene punto base). La clasificación clásica Enriques-Kodaira sí da abundancia pero sólo al final de una clasificación casi completa de dimensión Kodaira $\leq0$ superficies (con $K_X$ nef).

De ahí que mi pregunta sea: Utilizando ideas modernas, ¿es posible dar una prueba de abundancia más rápida para las superficies?

(En realidad, no estoy muy seguro de que la abundancia de Kodaira dimensión $2$ puede considerarse parte de la clasificación E-K, pero ignorémoslo).

Answer 1

Echando un vistazo tanto a "Introduction to the Mori Program" de Matsuki como a "Chapters on Algebraic Surfaces" de Reid, no parece que exista una prueba uniforme y rápida de la conjetura de la abundancia para superficies. En ambos libros, los autores consideran por separado los tres casos:

1. $\textrm{kod}(X)=2$ . Entonces se demuestra la abundancia construyendo explícitamente el modelo canónico $X^{can}$ de $X$ mediante contracciones del $(-2)$ -ciclos. Otro enfoque es utilizar la desaparición de Kawamata-Viehweg, si se quiere demostrar la libertad del punto base en un entorno más general. También se puede aplicar el resultado de Bombieri, que garantiza que $|5K_X|$ es siempre un morfismo birracional hacia el modelo canónico para cualquier superficie de tipo general.

2. $\textrm{kod}(X)=1$ . Entonces hay que demostrar la existencia de un lápiz elíptico en $X$ y la fórmula del haz canónico para las fibraciones elípticas. Ambos son resultados bastante sutiles y no conozco ninguna prueba que los evite.

3. $\textrm{kod}(X)=0$ . A continuación, la prueba se obtiene observando el mapa de Albanese, y el análisis necesario es esencialmente equivalente a la clasificación de Enriques-Kodaira.

Si realmente existe una prueba más rápida que evite este análisis caso por caso, me gustaría verla.

Answer 2

Soy novato en esto, pero ¿has mirado el capítulo de Lazarsfeld "Lectures on linear series" en el libro Complex algebraic geometry, IAS Park City math series vol 3? Allí lo deduce del teorema de Reider que él deduce del teorema de inestabilidad de Bogomolov, cuya demostración también esboza. Esto es una reescritura de algunas partes de su capítulo sobre la aplicación de técnicas de haces vectoriales en el libro Lectures on Riemann surfaces de Trieste, donde sin embargo dice que su argumento tiene un error. Asumo que el resultado que quieres es que cuando K es nef entonces algún múltiplo positivo de K es libre, (de hecho 4K).

Sí, tienes razón en que asume el tipo general, pero por desgracia para mi comprensión no lo afirma en el teorema en sí, sino sólo en un párrafo por encima del teorema, que es entonces aparentemente una suposición general no reafirmada más tarde. Por lo tanto, como es de suponer que se trata del caso contrario, esto no le sirve de nada. En la p. 81 de Kollar y Mori se limitan a afirmar que para las superficies el punto base es un "resultado no trivial". Esto sugiere que no conocían una prueba fácil.

edit: En los capítulos de Miles Reid sobre superficies algebraicas, discute este punto explícitamente al final de su tratamiento de la clasificación de superficies con K nef. Véase E.9.1. "La abundancia como cuello de botella lógico". Allí afirma que sólo conoce una prueba en la literatura que no utilice el argumento de Enriques en un punto crucial, a saber, la del libro de Barth, Peters y Van de Ven, donde utilizan el prof. de Ueno de la conjetura de aditividad de Iitaka C(2,1) mediante módulos de curvas. ¿Ayuda eso?

Answer 3

Hay una prueba de abundancia en el caso de las superficies en la sección 1.5 del libro "Introducción al Programa Mori" por Kenji Matsuki.

Answer 4

Esto es más una observación que una respuesta.

Quizás merezca la pena señalar que en la clasificación relacionada de foliaciones sobre superficies de McQuillan , Brunella y Mendes abundancia no se sostiene. Las llamadas foliaciones modulares de Hilbert son ejemplos de foliaciones con haz canónico nef pero con dimensión Kodaira-Iitaka dimensión negativa. Estos resultan ser los únicos ejemplos, y la prueba de este hecho es la parte más difícil de la clasificación.