Hallar un punto de la elipse que diste lo mismo de otros dos puntos de la elipse

Question

Tengo una elipse con dos puntos: A y C (con coordenadas conocidas). El punto O es el centro de la elipse (se dan las coordenadas).

Necesito encontrar las coordenadas del punto B que también se encuentra en la elipse, y debe estar a igual distancia de los puntos A y C (las longitudes de los segmentos AB y BC deben ser iguales).

He intentado solucionarlo yo mismo, pero sin éxito. ¿Podría sugerirme alguna solución?

Gracias de antemano. ACTUALIZACIÓN: la ecuación paramétrica de la elipse ya está dada.

Answer 1

Dado que quieres longitudes iguales para los segmentos de línea, en lugar de para las dos longitudes de arco, esto se puede resolver, aunque es un poco lioso. Supongamos que la ecuación paramétrica de la elipse es $x=a\cos t,\ y=b \sin t.$ Supongamos además que los dos puntos dados de la elipse son $A=(x_1,y_1)$ y $C=(x_2,y_2).$ [Nota después de esto se utilizará $C,S$ para los valores deseados $\cos t, \sin t$ de modo que las coordenadas de $B$ son $(aC,bS).$ A continuación, la diferencia de longitudes de segmento al cuadrado se fija en cero: $$(aC-x_1)^2+(bS-y_1)^2-(aC-x_2)^2-(bS-y_2)^2=0.$$ Ahora los términos cuadráticos de la incógnita $C,S$ se cancelan y llegamos a una relación lineal entre $C,S:$ $$[2a(x_2-x_1)]C + [2b(y_2-y_1)]S=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2.\tag{1}$$ Tenemos otra ecuación $C^2+S^2=1$ utilizar, y con $(1)$ esto nos permite resolver para $C,S.$ Habrá soluciones para esto, dado que tenemos los puntos originales $A,C$ en la elipse, por razones geométricas. Es un poco complicado de resolver $(1)$ y $C^2+S^2=1$ si le dejamos todas las letras. Sin embargo, para cualquier valor particular, una respuesta de "forma cerrada" para el seno y el coseno de $t$ se puede encontrar. Y una vez conocido esto podemos obtener las coordenadas del punto desconocido $B.$

Answer 2

Lo más probable es que la parametrización sea de la forma $$t\mapsto {\bf z}(t)=\cos t\ {\bf p}+\sin t\ {\bf q}\qquad(0\leq t\leq 2\pi)\tag{1}$$ para vectores dados ${\bf p}$ y ${\bf q}$ . Un punto ${\bf z}$ que es equidistante de ${\bf a}$ y ${\bf c}$ se encuentra en la mediatriz de estos dos puntos. Cumple la ecuación $$2{\bf z}\cdot({\bf c}-{\bf a})=|{\bf c}-{\bf a}|^2\ .$$ Ahora introduce esto en $(1)$ y obtener una ecuación para $t$ que tendrá dos soluciones.