Buen modelo functorial para BG

Question

Existen varias construcciones functoriales del espacio BG para un grupo topológico (entendiendo por BG más el haz universal G). En primer lugar, está la construcción de Milnor, tratada en varios libros de texto. La construcción de Milnor es functorial y $EG \to BG$ es localmente trivial para todos los grupos topológicos. La construcción de Milnor NO es monoidal en el sentido de que $B(G \times H) \cong BH \times BG$ ( $B1$ es algo así como un simplex de dimensión infinita y no un punto). Por otra parte, existe la construcción nerviosa $BG:= |N_{\bullet} G|$ (más una construcción de $EG$ ). Esto es monoidal, pero el mapa $EG \to BG$ no siempre es localmente trivial (según Graeme Segal, Classifying spaces and spectral sequences, p. 107). Es localmente trivial si G es "localmente bien comportado" (Segal da una condición precisa). Segal afirma que si G no se comporta bien localmente, la trivialidad local no es un concepto apropiado. A mí me parecería bien excluir grupos como los enteros p-ádicos de tener un espacio de clasificación, pero hay otros grupos que no me gusta desechar, como Homeo (X) para una variedad X (¿se comporta bien localmente?). He aquí mi pregunta:

¿Existe una construcción de $BG$ que cumplan las siguientes propiedades:

1. functorial,
2. monoidal,
3. $EG \to BG$ es localmente trivial,
4. la clase de grupos a los que se aplica es "muy grande", incluido Homeo de espacios razonables,
5. ¿Suficientemente sencillo como para presentarlo razonablemente en una clase magistral?

Answer 1

Segal escribió otro artículo en el que se planteaba esta cuestión.

Cohomología de grupos topológicos En Simposios Mathematica vol. IV (INDAM, Roma, 1968/69), págs. 377-387. Academic Press, Londres, (1970).

En el apéndice de este documento dice "La siguiente proposición sustituye a las vagas observaciones sobre el mismo tema en [Categorías y espacios clasificatorios]"

Entonces se sigue una proposición (Prop. A1) que afirma que G localmente contractible es suficiente para garantizar que $EG \to BG$ admite secciones locales. Aquí estamos utilizando la realización geométrica del nervio.

Así que si el grupo de homeomorfismo de una variedad es localmente contractible, estás en el negocio. No recuerdo si este es el caso.

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Añadido más tarde (Basado en los comentarios que figuran a continuación).

El artículo que Jeremy Brazas cita a continuación ayuda a responder a esta pregunta, y la respuesta parece ser que tanto para las variedades compactas como para las no compactas, si son razonable entonces el grupo Homeomorphims (con la topología compacto-abierto) es localmente contractible.

Para las variedades generales no compactas esta afirmación falla, pero los contraejemplos son cosas como ésta:

(fuente: Wayback Machine)

El documento en cuestión es

Černavskiĭ, A. V. Contractibilidad local del grupo de homeomorfismos de una variedad. (Ruso) Mat. Sb. (N.S.) 79 (121) 1969 307-356.

Más concretamente, el teorema 2 de este documento afirma:

Teorema : Si la variedad Μ es el interior de una variedad compacta N, entonces Homeo(M) es localmente contractible.

Answer 2

Espacio de clasificación de Segal $BG$ (la realización geométrica del nervio de $G$ considerado como un groupoide topológico de un objeto) y el haz universal asociado (la realización geométrica del nervio del groupoide de acción de $G$ actuando sobre sí mismo por mulitplicación, o equivalentemente, el groupoide codiscreto con objetos $G$ ) también fue estudiado por May, Milgram y Steenrod. Estos tres últimos sólo requieren que $G$ sea bien apuntado la inclusión del elemento identidad es una cofibración cerrada. Observo sin embargo que todo esto se hace en la categoría de $k$ -espacios.

El buen resultado de mayo es que $EG\to BG$ no es sólo un haz localmente trivial, sino un haz numerable es decir, existe una cubierta trivializadora de $BG$ tal que esta cubierta admite una partición subordinada de unidad. Así $EG \to BG$ clasifica numerable (sobre espacios paracompactos son claramente lo mismo que haces).

Además, $EG$ es un grupo topológico. También desde la construcción esto utiliza la realización geométrica ordinaria, $E(-) \to B(-)$ preserva los productos (y de hecho los pullbacks) - aquí es donde se utiliza la realización geométrica en k-espacios.