Existen varias construcciones functoriales del espacio BG para un grupo topológico (entendiendo por BG más el haz universal G). En primer lugar, está la construcción de Milnor, tratada en varios libros de texto. La construcción de Milnor es functorial y $EG \to BG$ es localmente trivial para todos los grupos topológicos. La construcción de Milnor NO es monoidal en el sentido de que $B(G \times H) \cong BH \times BG$ ( $B1$ es algo así como un simplex de dimensión infinita y no un punto). Por otra parte, existe la construcción nerviosa $BG:= |N_{\bullet} G|$ (más una construcción de $EG$ ). Esto es monoidal, pero el mapa $EG \to BG$ no siempre es localmente trivial (según Graeme Segal, Classifying spaces and spectral sequences, p. 107). Es localmente trivial si G es "localmente bien comportado" (Segal da una condición precisa). Segal afirma que si G no se comporta bien localmente, la trivialidad local no es un concepto apropiado. A mí me parecería bien excluir grupos como los enteros p-ádicos de tener un espacio de clasificación, pero hay otros grupos que no me gusta desechar, como Homeo (X) para una variedad X (¿se comporta bien localmente?). He aquí mi pregunta:
¿Existe una construcción de $BG$ que cumplan las siguientes propiedades:
- functorial,
- monoidal,
- $EG \to BG$ es localmente trivial,
- la clase de grupos a los que se aplica es "muy grande", incluido Homeo de espacios razonables,
- ¿Suficientemente sencillo como para presentarlo razonablemente en una clase magistral?
