Un isomorfismo entre el espacio dual de un espacio de Hilbert y un espacio mayor que contiene el mismo espacio de Hilbert.

Question

Sea $G \subset H \subset F$ sean tres espacios de Hilbert tales que los más pequeños estén continua y densamente embebidos en los más grandes. Además, supongamos $$|\langle h, g\rangle_H|\le \|h\|_{F}\|g\|_G,$$ para todos $h\in H$ y $v\in G$ .

Definir una asignación de $F$ a $G^*$ (el espacio dual continuo de $G$ ), $$(Jf) (g):= \lim_{n\to \infty} \langle h_n, g \rangle_H,$$ donde $h_n \to f$ en $\|\cdot\|_F$ .

Creo que $J$ es un isomorfo isométrico entre $F$ y $G^*$ (es decir, un mapeo biyectivo que preserva la norma).

Es fácil demostrar que $J$ está bien definida (no depende de la secuencia convergente) y $\|Jf\|_{G^*} \le \|f\|_F$ . ¿Cómo seguir adelante?

Answer 1

Considere $G=H=F$ y el mapa de incrustación es para $i_1: G\to H$ multiplicación con $\frac12$ y para $i_2:H\to F$ sólo la identidad. Entonces su condición es $$|\langle h, i_1(g)\rangle| =\frac12 |\langle h, g\rangle|≤ \|h\|\,\|g\|,$$ que se cumple.

¿Qué es el $J$ ? Tenga en cuenta que $Jf(g)=\frac12 \langle f,g\rangle$ Así que $J$ no es una isometría. Pero $J$ es topológicamente un isomorfismo, de hecho esto es siempre cierto.

Considere un escenario general como el esbozado en su pregunta:

Tenga en cuenta que $J$ es inyectiva, ya que si $Jf(g)=0$ para todos $g$ entonces $\langle h_n, g\rangle_H\to0$ para todos $g$ y y $\|h_n\|_H\to 0$ desde $G$ tiene imagen densa en $H$ entonces por continuidad de la incrustación $H\to F$ obtienes $\|h_n\|_F\to0$ así que $f=0$ .

A continuación, supongamos que existe un $g\in G$ para que $Jf(g)=0$ para todos $f\in F$ . En concreto se consigue que $\langle h, g\rangle_H =0$ para todos $h\in H$ lo que implica que $g=0$ . Por lo tanto, el complemento ortogonal de la imagen de $J$ es cero, y $J$ es suryectiva.

Por el teorema del mapa abierto $J$ es un isomorfismo topológico.