Comenzado el trabajo real sobre la cosa. El producto de los divisores que tiene, por supuesto, el mismo primer factores como el número original. Lo que no sabía es que, si el exponente es $a$ y el número de divisores del número de es $d(n),$ a continuación, el nuevo exponente de que el primer (en el producto de los divisores) es
$$ a \, d(n) / 2. $$
Esto le da la primera pista de cómo un gran número de divisores que tiende a dar un gran producto de los divisores, un firmemente de manera controlada. Dicho de otra manera, si el número original es $n$ y el producto de todos los divisores es $P,$
$$ P = n^{d(n)/2} $$
Por lo tanto, si $n$ tiene al menos tantos como todos los divisores de números más pequeños, a continuación, $P$ está garantizado estrictamente mayor que todos los anteriores valores de $P.$ por Lo tanto, tenemos que A067128 está contenida en A034287, tal vez estrictamente, o tal vez las secuencias son iguales.
TEOREMA gran medida de un número compuesto tiene un producto de los divisores que es estrictamente mayor que tales productos para todos los números más pequeños.
Enfoques para la otra dirección: si la suposición es que el $n$ establece un nuevo récord para el producto de los divisores, estamos diciendo que, para todos los $m < n,$
$$ d(n) > \left( \frac{\log m}{\log n} \right) d(m). $$
Tenemos explícita límites superiores en el tamaño de $d(n)$ debido a Nicolas y Robin; lo importante es cómo muy pequeño de estos límites. Es posible que los números de ajuste de nuevo divisor de los registros de producto son tan frecuentes que, al $m$ es el elemento anterior de la lista, que $ \left( \frac{\log m}{\log n} \right) d(m) > d(m) - 1. $ Que lo haría; tal vez es cierto. Yo, al menos, experimentar con eso. OH, BIEN. La conjetura de la desigualdad no parece ser cierto, o incluso cierto para sufficently grandes números. Por otro lado, nos parece que obtiene el prometedor $ \left( \frac{\log m}{\log n} \right) d(m) > d(m) - 3. $ vale la Pena jugar con este equipo conjetura, porque $d(m)$ es aún menos $m$ sí es un cuadrado. NOPE. El $3$ no se mantiene de pie. Aquí son los más pequeños los números, en donde la diferencia superior a 2.0. La forma en que va esto, creo que tampoco búsqueda de un número en una lista pero no en la otra, o una prueba de las listas son el mismo, sería una cantidad razonable de esfuerzo.
7560 = ( 3, 3, 1, 1 ) prod = ( 96, 96, 32, 32, ) number of divisors 64 prev 60 57.2759 diff 2.7241
131040 = ( 5, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 360, 144, 72, 72, 72, ) number of divisors 144 prev 144 141.958 diff 2.04152
196560 = ( 4, 3, 1, 1, 1 ) prod = ( 320, 240, 80, 80, 80, ) number of divisors 160 prev 160 157.807 diff 2.1929
262080 = ( 6, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 504, 168, 84, 84, 84, ) number of divisors 168 prev 168 165.751 diff 2.24945
327600 = ( 4, 2, 2, 1, 1 ) prod = ( 360, 180, 180, 90, 90, ) number of divisors 180 prev 180 177.632 diff 2.36778
655200 = ( 5, 2, 2, 1, 1 ) prod = ( 540, 216, 216, 108, 108, ) number of divisors 216 prev 216 213.306 diff 2.69428
831600 = ( 4, 3, 2, 1, 1 ) prod = ( 480, 360, 240, 120, 120, ) number of divisors 240 prev 240 237.48 diff 2.51955
942480 = ( 4, 2, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 480, 240, 120, 120, 120, 120, ) number of divisors 240 prev 240 237.816 diff 2.18367
1330560 = ( 7, 3, 1, 1, 1 ) prod = ( 896, 384, 128, 128, 128, ) number of divisors 256 prev 256 252.23 diff 3.76961
1663200 = ( 5, 3, 2, 1, 1 ) prod = ( 720, 432, 288, 144, 144, ) number of divisors 288 prev 288 285.123 diff 2.87715
La muestra, sólo los exponentes, no los prepara a sí mismos:
2 = ( 1 ) prod = ( 1 ) number of divisors 2
3 = ( 1 ) prod = ( 1 ) number of divisors 2
4 = ( 2, ) prod = ( 3, ) number of divisors 3
6 = ( 1, 1 ) prod = ( 2, 2, ) number of divisors 4
8 = ( 3, ) prod = ( 6, ) number of divisors 4
10 = ( 1, 1 ) prod = ( 2, 2, ) number of divisors 4
12 = ( 2, 1 ) prod = ( 6, 3, ) number of divisors 6
18 = ( 1, 2, ) prod = ( 3, 6, ) number of divisors 6
20 = ( 2, 1 ) prod = ( 6, 3, ) number of divisors 6
24 = ( 3, 1 ) prod = ( 12, 4, ) number of divisors 8
30 = ( 1, 1, 1 ) prod = ( 4, 4, 4, ) number of divisors 8
36 = ( 2, 2, ) prod = ( 9, 9, ) number of divisors 9
48 = ( 4, 1 ) prod = ( 20, 5, ) number of divisors 10
60 = ( 2, 1, 1 ) prod = ( 12, 6, 6, ) number of divisors 12
72 = ( 3, 2, ) prod = ( 18, 12, ) number of divisors 12
84 = ( 2, 1, 1 ) prod = ( 12, 6, 6, ) number of divisors 12
90 = ( 1, 2, 1 ) prod = ( 6, 12, 6, ) number of divisors 12
96 = ( 5, 1 ) prod = ( 30, 6, ) number of divisors 12
108 = ( 2, 3, ) prod = ( 12, 18, ) number of divisors 12
120 = ( 3, 1, 1 ) prod = ( 24, 8, 8, ) number of divisors 16
168 = ( 3, 1, 1 ) prod = ( 24, 8, 8, ) number of divisors 16
180 = ( 2, 2, 1 ) prod = ( 18, 18, 9, ) number of divisors 18
240 = ( 4, 1, 1 ) prod = ( 40, 10, 10, ) number of divisors 20
336 = ( 4, 1, 1 ) prod = ( 40, 10, 10, ) number of divisors 20
360 = ( 3, 2, 1 ) prod = ( 36, 24, 12, ) number of divisors 24
420 = ( 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 24, 12, 12, 12, ) number of divisors 24
480 = ( 5, 1, 1 ) prod = ( 60, 12, 12, ) number of divisors 24
504 = ( 3, 2, 1 ) prod = ( 36, 24, 12, ) number of divisors 24
540 = ( 2, 3, 1 ) prod = ( 24, 36, 12, ) number of divisors 24
600 = ( 3, 1, 2, ) prod = ( 36, 12, 24, ) number of divisors 24
630 = ( 1, 2, 1, 1 ) prod = ( 12, 24, 12, 12, ) number of divisors 24
660 = ( 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 24, 12, 12, 12, ) number of divisors 24
672 = ( 5, 1, 1 ) prod = ( 60, 12, 12, ) number of divisors 24
720 = ( 4, 2, 1 ) prod = ( 60, 30, 15, ) number of divisors 30
840 = ( 3, 1, 1, 1 ) prod = ( 48, 16, 16, 16, ) number of divisors 32
1080 = ( 3, 3, 1 ) prod = ( 48, 48, 16, ) number of divisors 32
1260 = ( 2, 2, 1, 1 ) prod = ( 36, 36, 18, 18, ) number of divisors 36
1440 = ( 5, 2, 1 ) prod = ( 90, 36, 18, ) number of divisors 36
1680 = ( 4, 1, 1, 1 ) prod = ( 80, 20, 20, 20, ) number of divisors 40
2160 = ( 4, 3, 1 ) prod = ( 80, 60, 20, ) number of divisors 40
2520 = ( 3, 2, 1, 1 ) prod = ( 72, 48, 24, 24, ) number of divisors 48
3360 = ( 5, 1, 1, 1 ) prod = ( 120, 24, 24, 24, ) number of divisors 48
3780 = ( 2, 3, 1, 1 ) prod = ( 48, 72, 24, 24, ) number of divisors 48
3960 = ( 3, 2, 1, 1 ) prod = ( 72, 48, 24, 24, ) number of divisors 48
4200 = ( 3, 1, 2, 1 ) prod = ( 72, 24, 48, 24, ) number of divisors 48
4320 = ( 5, 3, 1 ) prod = ( 120, 72, 24, ) number of divisors 48
4620 = ( 2, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 48, 24, 24, 24, 24, ) number of divisors 48
4680 = ( 3, 2, 1, 1 ) prod = ( 72, 48, 24, 24, ) number of divisors 48
5040 = ( 4, 2, 1, 1 ) prod = ( 120, 60, 30, 30, ) number of divisors 60
7560 = ( 3, 3, 1, 1 ) prod = ( 96, 96, 32, 32, ) number of divisors 64
9240 = ( 3, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 96, 32, 32, 32, 32, ) number of divisors 64
10080 = ( 5, 2, 1, 1 ) prod = ( 180, 72, 36, 36, ) number of divisors 72
12600 = ( 3, 2, 2, 1 ) prod = ( 108, 72, 72, 36, ) number of divisors 72
13860 = ( 2, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 72, 72, 36, 36, 36, ) number of divisors 72
15120 = ( 4, 3, 1, 1 ) prod = ( 160, 120, 40, 40, ) number of divisors 80
18480 = ( 4, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 160, 40, 40, 40, 40, ) number of divisors 80
20160 = ( 6, 2, 1, 1 ) prod = ( 252, 84, 42, 42, ) number of divisors 84
25200 = ( 4, 2, 2, 1 ) prod = ( 180, 90, 90, 45, ) number of divisors 90
27720 = ( 3, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 144, 96, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
30240 = ( 5, 3, 1, 1 ) prod = ( 240, 144, 48, 48, ) number of divisors 96
32760 = ( 3, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 144, 96, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
36960 = ( 5, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 240, 48, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
37800 = ( 3, 3, 2, 1 ) prod = ( 144, 144, 96, 48, ) number of divisors 96
40320 = ( 7, 2, 1, 1 ) prod = ( 336, 96, 48, 48, ) number of divisors 96
41580 = ( 2, 3, 1, 1, 1 ) prod = ( 96, 144, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
42840 = ( 3, 2, 1, 1, 1 ) prod = ( 144, 96, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
43680 = ( 5, 1, 1, 1, 1 ) prod = ( 240, 48, 48, 48, 48, ) number of divisors 96
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