Tengo una pregunta sobre la derivación de Giulio Racah de la forma algebraica cerrada de los coeficientes de Clebsch-Gordan en su artículo Theory of complex spectra ii ( Phys. Rev. v 62, pp 438 1942).
He seguido su demostración hasta la ecuación (10), y estoy perdido en la transición de esta ecuación a (11).
La esencia parece ser que se utiliza una ecuación para un coeficiente CG general para calcular el caso en el que m -> j y j-> j+1, pero la ecuación resultante parece haberse simplificado mucho, y no entiendo cómo.
Ec 10:
$$ \begin{align}(m_1m_2|jm)=\delta (m1+m2,m)A_j \left[ \frac{(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!(j-m)!(j+m)!}{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!}\right]^{0.5}\sum_{t}(-1)^{j_1-m_1+t}\times \frac{(j_1+m_1+t)!(j+j_2-m_1-t)!}{t!(j-m-t)!(j_1-m_1-t)(j_2-j+m_1+t)!} \end{align} $$
$A_j$ es una constante por determinar en este momento, y no es realmente preocupante. No me interesa repetir cómo se llegó a esta ecuación, pero dejaré un enlace al artículo original si tienes curiosidad ( https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.62.438 ).
Lo que me confunde es lo siguiente. Y cito:
"Para obtener a partir de (una ecuación anterior,4) la dependencia de $A_j$ en j, calculamos primero a partir de (1) la expresión de $(m_1m_2|j+1j)$ : debido a la $\delta$ y a la expresión de $(j\vdots J_1\vdots j)$ (TAS $10^3 2a$ ), tenemos
(11)
$$ \begin{align} (m_1m_2|j+1 j)=\delta (m1+m2,j)(-1)^{j_1-m_1}A_{j+1} \left[ \frac{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!(2j+1)!}{(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}\right]^{0.5} \times 2(j+1)[m_1-j(j\vdots J_1\vdots j)] \end{align}" $$
La referencia que hace a TAS $10^3 2a$ es una ecuación proporcionada en el libro de Condon y Shortley Teoría de los espectros atómicos ecuación 2a del capítulo 3, subcapítulo 10. Dice textualmente:
$$ \begin{align} (\gamma j_1j_2j\vdots J_1\vdots \gamma j_1j_2j)=\frac{j_1(j_1+1)-j_2(j_2+1)+j(j+1)}{2j(j+1)}\hbar \end{align} $$
Podemos ignorar $\hbar$ porque estamos en unidades de $\hbar=1$ . Asimismo, el $\gamma$ es un marcador de posición para cualquier otro número cuántico observable en ese estado.
El procedimiento parece ser llevar j a j+1, y m a j. La suma alterna incluye entonces un término en el denominador de la forma
$$ (j-m-t)! \rightarrow (j+1-j-t)! $$
Para los que sólo t = 0,1 arroja resultados significativos. De ahí que calculemos estos dos términos y realicemos la multiplicación.
Mis resultados para la suma son los siguientes: $$ \frac{(j_1+m_1)! (j+j_2-m_1)!}{(j_1-m_1) (j-m)! (-j+j_2+m_1)!}-\frac{(j_1+m_1+1)! (j+j_2-m_1-1)!}{(j_1-m_1-1) (j-m-1)! (-j+j_2+m_1+1)!} $$
Que al hacer las sustituciones $j \rightarrow j+1$ y $m \rightarrow j$ rendimientos:
$$ \frac{(j_1+m_1)!(j+j_2-m_1+1)!}{(j_1-m_1)(-j+j_2+m_1-1)!}-\frac{(j_1+m_1+1)! (j+j_2-m_1)!}{(j_1-m_1-1)(-j+j_2+m_1)!} $$
La raíz cuadrada en (10) también se convierte en:
$$ \sqrt{\frac{(2 j+1)!(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}{(j_1+m_1)! (j_2+m_2)!}} $$
Y por tanto el producto (simplificado en Mathematica) es :
$$ \left(\frac{j+j_2-m_1+1}{j_1-m_1}-\frac{j_1+m_1+1}{(j_1-m_1-1) (-j+j_2+m_1)}\right)\times\sqrt{\frac{(2 j+2)!(j_1-m_1)! (j_2-m_2)!}{(j_1+m_1)! (j_2+m_2)!}}\times \frac{(j_1+m_1+1)! (j+j_2-m_1+1)!}{(-j+j_2+m_1)!} $$
En resumen, es un gran lío. No tengo ni idea de cómo este batiburrillo es supuestamente equivalente a
$$ \left[ \frac{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!(2j+1)!}{(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}\right]^{0.5} \times 2(j+1)[m_1-j\frac{j_1(j_1+1)-j_2(j_2+1)+j(j+1)}{2j(j+1)}] $$
Que, omitiendo la función de Kronecker, $A_{j+1}$ y el término (-1), es lo que deberíamos tener.
Independientemente de que mis simplificaciones en Mathematica sean correctas (que me inclino a pensar que no lo son), Racah está afirmando una igualdad de este tipo, que no he podido demostrar. Si alguien está familiarizado con este material fuente, o domina la combinatoria y es indulgente con la notación, le agradecería mucho la ayuda.
El objetivo de este ejercicio en particular (calcular $<m1m2|j+1j>$ de esta manera), es determinar la relación entre $A_j$ y $A_{j+1}$ de forma que podamos determinar completamente la forma de esta ecuación y obtener la forma cerrada del CG . De hecho, es el único límite real para mi comprensión del resto de su demostración.
Soy consciente a través de mis otros mensajes y mis lecturas que hay otras pruebas para los coeficientes CG, pero agradecería una respuesta a este pregunta, y no una remisión a otros, si es posible.
Toda ayuda es bienvenida.
Edición1: Como @LonelyProf señaló, podemos tomar los términos $(j_1-m_1-1)$ y $(j_1-m_1)$ en el denominador de la Ec 10 por estar mal impresos en el sentido de que no son factoriales. Si esto es cierto, entonces obtenemos lo siguiente:
$$ \sqrt{\frac{(2 j+1)!(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}{(j_1+m_1)! (j_2+m_2)!}}\times\frac{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!}{(j_1-m_1)! (j_2-m_2)!} = \sqrt{\frac{(2 j+1)!(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!}{(j_1-m_1)! (j_2-m_2)!}} $$
