¿Por qué $Z_2 \times Z_3 \times Z_4$ no es isomorfo a $Z_{24}$ ?

Question

¿Por qué $Z_2 \times Z_3 \times Z_4$ no es isomorfo a $Z_{24}$ ?

Había escrito esto como paso para resolver un problema en mi examen de matemáticas, y mi profesor lo marcó como incorrecto.

Pero no estoy seguro de por qué está mal, porque $2$ , $3$ y $4$ no comparten ningún factor común?

Además, siento lo de la edición. Soy nuevo en este sitio y no estoy seguro de cómo arreglarlo.

Answer 1

Ciertamente $2$ y $4$ comparten un factor común, a saber $2$ sí mismo.

De todos modos, los grupos son no isomorfos, por ejemplo, porque $Z_{24}$ contiene elementos de orden $24$ pero los elementos de $Z_2 \times Z_3 \times Z_4 \cong Z_2 \times Z_{12}$ todos tienen orden como máximo $12$ .

Answer 2

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12}$ . Pero ahora $2, 12$ no son coprimos, por lo que se tiene que no es isomorfo a $\mathbb{Z}_{24}$ .