Factorización de un polinomio módulo primo

Question

¿Cómo factorizaría un polinomio $x^{5}-4$ sobre un campo finito $\mathbb{F}_{29}=\mathbb{Z}/29\mathbb{Z}$ ? Sé que $29$ es primo, así que eso será relevante como mínimo. Además, si resolvemos la ecuación $x^{5}\equiv 4 \mod 29$ obtendríamos la solución $x=6$ único hasta el módulo $29$ . ¿Hay alguna manera de $\mathbb{Z}/29\mathbb{Z}$ utilizando la solución obtenida de la ecuación?

Answer 1

En campos finitos, se tiene la ventaja de que dado cualquier $n \in \Bbb N$ sólo hay un número finito de polinomios de grado $\le n$ . En particular, sólo hay un número finito de irreducibles.

Ahora, en tu ejemplo, ya has encontrado una raíz del polinomio. Por lo tanto, puedes hacer la división polinómica habitual para obtener $$x^5 - 4 = (x - 6)(x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 13x + 20).$$

Ahora, podría comprobar si $6$ es de nuevo una raíz del cuártico. Este no será el caso. Como ya has observado que el polinomio original no tiene raíz aparte de $6$ se puede concluir que el cuártico no tiene raíz.

Por lo tanto, ahora tiene dos casos:

1. El cuártico es irreducible. (Significa que no tiene factores propios).
2. El cuártico es un producto de dos cuadráticos irreducibles.

Ahora podrías intentar enumerar todas las cuadráticas irreducibles (mónicas) sobre $\Bbb F_{29}$ . Serán precisamente aquellas cuadráticas que no tengan raíz. Debido a esto, nuestra vida será más sencilla.
(Tenga en cuenta que este truco sólo funciona para cuadráticos y cúbicos. Para polinomios de mayor grado, puede muy bien darse el caso de que sea reducible pero no tenga raíz).

Por supuesto, esto es mucho más fácil de hacer a mano para el caso de $\Bbb F_p$ con $p$ mucho menor que $29$ . En su caso, hay $29^2 = 841$ cuadráticas mónicas. Tendrías que averiguar cuáles son irreducibles. (Tenga en cuenta que $841 - 435 = 406$ sería irreducible). Probablemente sería mejor utilizar algún tipo de programa para esto.