¿Cómo demostrar que la exactitud implica complejidad?

Question

En una categoría abeliana, existen las nociones de secuencia exacta y complejo. Como los objetos pueden no ser grupos abelianos, la definición de sucesión exacta y complejo es complicada. Y el hecho trivial de que toda sucesión exacta es un complejo para grupos y módulos abelianos no es trivial aquí. ¿Cómo demostrar este hecho en una categoría abeliana?

Answer 1

¿Es ésta la definición que utiliza?

Consideremos dos morfismos $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$ . La imagen de $f$ se define como el núcleo del cokernel de $f$ y la secuencia es exacta en $Y$ si también es el núcleo de $g$ . En detalle $Y \xrightarrow{c} C$ sea un cokernel de $f$ y que $K \xrightarrow{k} Y$ sea el núcleo de $c$ entonces la secuencia se llama exacta en $Y$ si el mapa $k$ también es un núcleo de $g$ .

Lo que pregunta es cómo demostrar que si $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$ es exacta en $Y$ entonces $gf=0$ . Veamos: tenemos $cf=0$ así que por la propiedad universal del núcleo de $c$ existe un morfismo $X \xrightarrow{u} K$ tal que $f = ku$ . Por lo tanto $gf=gku$ que es $0$ ya que estamos asumiendo $k$ también es un núcleo de $g$ .