En una categoría abeliana, existen las nociones de secuencia exacta y complejo. Como los objetos pueden no ser grupos abelianos, la definición de sucesión exacta y complejo es complicada. Y el hecho trivial de que toda sucesión exacta es un complejo para grupos y módulos abelianos no es trivial aquí. ¿Cómo demostrar este hecho en una categoría abeliana?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?¿Es ésta la definición que utiliza?
Consideremos dos morfismos Xf→Yg→Z . La imagen de f se define como el núcleo del cokernel de f y la secuencia es exacta en Y si también es el núcleo de g . En detalle Yc→C sea un cokernel de f y que Kk→Y sea el núcleo de c entonces la secuencia se llama exacta en Y si el mapa k también es un núcleo de g .
Lo que pregunta es cómo demostrar que si Xf→Yg→Z es exacta en Y entonces gf=0 . Veamos: tenemos cf=0 así que por la propiedad universal del núcleo de c existe un morfismo Xu→K tal que f=ku . Por lo tanto gf=gku que es 0 ya que estamos asumiendo k también es un núcleo de g .