En una categoría abeliana, existen las nociones de secuencia exacta y complejo. Como los objetos pueden no ser grupos abelianos, la definición de sucesión exacta y complejo es complicada. Y el hecho trivial de que toda sucesión exacta es un complejo para grupos y módulos abelianos no es trivial aquí. ¿Cómo demostrar este hecho en una categoría abeliana?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?¿Es ésta la definición que utiliza?
Consideremos dos morfismos . La imagen de se define como el núcleo del cokernel de y la secuencia es exacta en si también es el núcleo de . En detalle sea un cokernel de y que sea el núcleo de entonces la secuencia se llama exacta en si el mapa también es un núcleo de .
Lo que pregunta es cómo demostrar que si es exacta en entonces . Veamos: tenemos así que por la propiedad universal del núcleo de existe un morfismo tal que . Por lo tanto que es ya que estamos asumiendo también es un núcleo de .