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¿Cómo demostrar que la exactitud implica complejidad?

En una categoría abeliana, existen las nociones de secuencia exacta y complejo. Como los objetos pueden no ser grupos abelianos, la definición de sucesión exacta y complejo es complicada. Y el hecho trivial de que toda sucesión exacta es un complejo para grupos y módulos abelianos no es trivial aquí. ¿Cómo demostrar este hecho en una categoría abeliana?

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tolomea Puntos 286

¿Es ésta la definición que utiliza?

Consideremos dos morfismos XfYgZ . La imagen de f se define como el núcleo del cokernel de f y la secuencia es exacta en Y si también es el núcleo de g . En detalle YcC sea un cokernel de f y que KkY sea el núcleo de c entonces la secuencia se llama exacta en Y si el mapa k también es un núcleo de g .

Lo que pregunta es cómo demostrar que si XfYgZ es exacta en Y entonces gf=0 . Veamos: tenemos cf=0 así que por la propiedad universal del núcleo de c existe un morfismo XuK tal que f=ku . Por lo tanto gf=gku que es 0 ya que estamos asumiendo k también es un núcleo de g .

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