Demuestre que la función $f(x)=x^2-x+1$ , $x\geq 1/2$ y $\phi(x)=1/2+\sqrt{x-3/4}$ son mutuamente inversas y resuelve la ecuación $x^2-x+1$

Question

Demuestre que la función $f(x)=x^2-x+1$ , $x\geq 1/2$ y $\phi(x)=1/2+\sqrt{x-3/4}$ son mutuamente inversas y resuelve la ecuación $x^2-x+1=1/2+\sqrt{x-3/4}$ .

Este era un ejemplo dado en el libro Problemas de Cálculo en Una Variable escrito por I.A Maron. La solución es la siguiente:

La función $y=f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4$ aumenta en el intervalo $1/2\leq x<\infty$ y con $x$ varían en el intervalo indicado, tenemos $3/4\leq y<\infty$ . Por lo tanto, definido en el intervalo $3/4\leq y<\infty$ es la inversa de la función $x=g(y)$ $x\geq 1/2$ que se obtiene de la ecuación $x^2-x+(1-y)=0$ . Resolviendo la ecuación con respecto a $x$ obtenemos $x=g(y)=1/2+\sqrt{x-3/4}=\phi(y)$ . Resolvamos ahora la ecuación $x^2-x+1=1/2+\sqrt{x-3/4}$ . Dado que la gráfica de las funciones original e inversa sólo pueden intersecarse en la línea recta $y=x$ resolviendo la ecuación $x^2-x+1=x$ encontramos $x=1$ .

Sin embargo, no entiendo cómo llegan a la conclusión de que "Dado que la gráfica de la función original y la inversa sólo pueden intersecarse en la línea recta $y=x$ resolviendo la ecuación $x^2-x+1=x$ encontramos $x=1$ "? ¿Cómo dicen que el gráfico se interseca en la línea $y=x$ ? Este es un capítulo elemental en el libro tal vez puede ser clasificado como un capítulo preliminar "Funciones" dado antes de introducir los conceptos de nivel elemental de los límites de las secuencias,.... Por lo tanto, tal vez esto no requiere cálculo. Pero no entiendo como la conclusión mencionada anteriormente es así?

Answer 1

Hablando gráficamente, inversa de una función $f$ es su reflexión sobre la recta $y=x$ . Por lo tanto, si el gráfico de $f$ cruza la línea $y=x$ entonces la inversa de $f$ cruzaría la línea $y=x$ en el mismo lugar/es que $f$ lo atraviesa debido a la reflexión (esto debería tener un sentido intuitivo, ¿verdad?). Por lo tanto $f$ y su inversa se encuentran a lo largo de la línea $y=x$ .

Desde un punto de vista matemático $g$ sea la inversa de $f$ . Puesto que se afirma que $g$ es el reflejo de $f$ sobre la línea $y=x$ deberíamos poder intercambiar las variables (este intercambio es la forma en que se modela dicha reflexión) en la ecuación $$ y=g(x) $$ y obtener la gráfica de $f$ . Así, intercambiando las variables, obtenemos $$ x=g(y)=f^{-1}(y) \implies y=f(x) $$ según sea necesario.

Utilizando el mismo método de intercambio para la función inversa dada, obtenemos $$ x=1/2+\sqrt{y-3/4} $$ Resolución de $y$ obtenemos la gráfica de la función original $$ y=x^2-x+1 $$

Nota :
Es importante señalar que la reflexión sobre la línea $y=x$ no es la inversa de una función, sino la interpretación física de la inversa. Podemos tener gráficas que no sean funciones y tendrían reflexiones sobre dicha recta, pero no son inversas porque la gráfica original no representa una función para empezar.