Equivalencia asintótica frente a diferencia cero entre funciones

Question

He estado resolviendo unos ejercicios de Apostol, donde demuestra las asíntotas de la hipérbola. Y me ha surgido la siguiente duda Al demostrar que la hipérbola se aproxima a las asíntotas utilicé la definición de la equivalencia:

$$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$

La intuición me dice que como $\exists r$ s.t. $\lvert \frac{f(x)}{g(x)} - 1 \rvert < \epsilon, \forall x>r$ las funciones son esencialmente iguales.

Sin embargo, Apostol muestra el resultado de forma diferente, utilizando el límite de la diferencia:

$$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) - g(x) = 0$$

¿Cuál es la diferencia entre ambos enfoques? He intentado demostrar la equivalencia de los enunciados, pero no he podido transformar $\lvert \frac{f(x)}{g(x)} - 1 \rvert < \epsilon$ a $\lvert f(x)- g(x) \rvert < \epsilon$ fácilmente.

¿Puede alguien mostrar esta equivalencia, o decirme qué está mal? Mi intuición me dice que no hay diferencia entre los enfoques, y más o menos cada uno muestra que dos funciones son iguales a medida que x crece.

Si se trata de afirmaciones diferentes, ¿por qué Apostol eligió este último enfoque?

Answer 1

Esta es la diferencia entre error relativo y error absoluto . Apostol muestra que el error absoluto entre usar una función para aproximar la otra es pequeño, por ejemplo, es finalmente siempre menor que $1$ . Ha demostrado que el error relativo al hacerlo es pequeño, por ejemplo, al final siempre es menor que $1\%$ del valor de la función. En general, ambas no son equivalentes.

Veamos cómo se comparan en dos escenarios.

• Queremos aproximar la función $x \mapsto x$ asintóticamente como $x \rightarrow \infty$ . La función $x+1$ tiene un error absoluto constante, $1$ y un error relativo que disminuye a medida que $1/x$ . De esto podemos concluir que (en ausencia de hipótesis adicionales) el error relativo que disminuye a cero no implica que el error absoluto disminuya a cero.
• Queremos aproximar la función $x \mapsto 0$ asintóticamente como $x \rightarrow \infty$ . La función $1/x$ tiene un error absoluto decreciente hasta cero y un error relativo siempre indefinido (división por cero). (Si sustituimos $x \mapsto 0$ con $x \mapsto \varepsilon$ para algún pequeño número positivo, $\varepsilon$ el error relativo es $|1 - \frac{1}{\varepsilon x}|$ que disminuye para $x \in [1,1/\varepsilon]$ y aumenta después, acercándose a $1$ . El error absoluto está limitado por $\varepsilon$ .) A partir de aquí, que el error absoluto disminuya a cero no implica que el error relativo disminuya a cero.

Por lo tanto, la implicación que buscas entre los dos métodos de medición del error no existe en ninguno de los dos sentidos, sin más información sobre las distintas funciones.

El problema del error relativo es que no tiene por qué disminuir para las funciones que crecen rápidamente. Consideremos $2^x + x$ . Su crecimiento comparado con $2^x$ es $$ \frac{2^x + x}{2^x} = 1 + \frac{x}{2^x} \xrightarrow{x \rightarrow \infty} 1 $$ pero $$ (2^x + x) - (2^x) = x \xrightarrow{x \rightarrow \infty} \infty \text{.} $$ El error es pequeño en comparación con el tamaño de la función, por lo que podría ser una corrección insignificante en comparación con el tamaño de la función, pero el error es finalmente mayor que cualquier límite preestablecido en "pequeño".

Answer 2

Las condiciones $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ y $\lim_{x\to\infty} (f(x) - g(x)) = 0$ son independientes entre sí:

• [de mi comentario] Deja $f(x) = x+1$ y $g(x) = x$ . entonces $\frac{f(x)}{g(x)} \to 1$ como $x \to\infty$ . pero $f(x) - g(x) = 1$ para todos $x$ .
• Sea $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = \frac{1}{2x}$ . Entonces $f(x) - g(x) \to 0$ como $x \to \infty$ pero $\frac{f(x)}{g(x)} = 2$ para todos $x$ .

En cuanto a por qué Apostol prefiere el límite de la diferencia, considere la idea heurística de asíntota: una línea a la que la curva se acerca arbitrariamente. La "cercanía" se mide en términos de distancia en el plano, por lo que deberíamos fijarnos en la diferencia $|f(x)-g(x)|$ . Mientras que, si utilizas la definición de cociente, entonces cada línea $y= x+ c$ se ajustaría a la definición de "asíntota" para $y=x + \frac{1}{x}$ .

Answer 3

Una curva es asintótica a una recta si la distancia entre la línea y la curva se reduce a cero cuando la variable que parametriza la curva llega a infinito. Así que para demostrar que su planteamiento no garantiza este comportamiento basta con encontrar un contraejemplo. Consideremos

$f(x) + x^2,\, g(x)=x^2+1$

Obsérvese que la distancia entre ambas curvas sigue siendo finita, mientras que se cumple que

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim} \left | \frac{f(x)}{g(x)} \right | = 1$

El enfoque alternativo, sin embargo, no tiene este problema.

En esencia, tu enfoque mide el "error relativo" (la diferencia normalizada por el tamaño de las funciones), mientras que la noción de asíntota requiere que la distancia entre las funciones llegue a cero en sentido absoluto.