Mientras que la serie de Fourier resuelve la ecuación del calor en un intervalo finito, ¿puede la transformada de Fourier resolver la ecuación del calor en una línea infinita?

Question

Consideremos la ecuación del calor con valor inicial $f$ $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\ \ \ u(x,0)=f(x).$$ Examinamos dos casos, uno con $x\in[-\pi,\pi]$ (ecuación del calor en un intervalo finito), otra con $x\in\Bbb R$ (ecuación del calor en línea infinita).

En el caso de que intentemos resolver la ecuación del calor en un intervalo finito, podemos descomponer primero la función de valor inicial $f$ en series de Fourier $$f(x)=c+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx)$$ y luego utilizar esta serie de Fourier para resolver la ecuación de calor como $$u(x,t)=c+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx))e^{-n^2t}\label{a}\tag{1}$$ (no nos preocupemos por los valores límite).

En cuanto al caso de la ecuación del calor en una línea infinita, estoy pensando en utilizar la transformada de Fourier de la misma manera que las series de Fourier resuelven la ecuación del calor en un intervalo finito.

Según tengo entendido, la transformada de Fourier hace lo mismo que la serie de Fourier: descomponer una función como "suma" de ondas seno y coseno (o $e^{ikx}$ ), sólo que la serie de Fourier se aplica a funciones en un intervalo finito, mientras que la transformada de Fourier se aplica a funciones en una línea infinita que decaen lo suficientemente rápido en el infinito. El "coeficiente" del término $e^{2\pi ikx}$ se obtiene haciendo el "producto interior" de $f(x)$ y $e^{2\pi ikx}$ que $$\hat f(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi ikx}dx$$ es el coeficiente del término $e^{2\pi ikx}$ . A partir de estos "coeficientes", la función $f$ se escribe como una "serie" $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)e^{2\pi ikx}dk.$$

Como $\sin(nx)$ y $\cos(nx)$ ofrecer soluciones sencillas $\sin(nx)e^{-n^2t}$ y $\cos(nx)e^{-n^2t}$ a la ecuación del calor, las funciones $e^{2\pi ikx}$ también ofrecen soluciones fáciles $e^{2\pi ikx}e^{-4\pi^2k^2t}$ a la ecuación del calor.

Con mi concepto de transformada de Fourier, ¿podemos hacer algo con la representación $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)e^{2\pi ikx}dk$$ para obtener una solución de la ecuación del calor en línea infinita con condición inicial $f$ ? Como, ¿podría $$u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k)e^{2\pi ikx}e^{-4\pi^2k^2t}dk$$ ser una solución al problema? (Acabo de copiar lo que hicimos en la ecuación $(\ref{a})$ )

Answer 1

Sí, puede representar $$ u(x,t)= \int_{-\infty}^{\infty}C(s,t)e^{isx}ds. $$ La condición $u(x,0)=f(x)$ da $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}C(s,0)e^{isx}ds$ o $$ C(s,0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx. $$ y $$ u_{t}-u_{xx}=0 \implies \int_{-\infty}^{\infty}(C_t(s,t)+s^2C(s,t))e^{isx}dx = 0 \\ \implies C_t(s,t)=-s^2C(s,t) \\ \implies C(s,t)=e^{-ts^2}C(s,0) \\ \implies C(s,t)=e^{-ts^2}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx $$ Por fin, $$ u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-ts^2}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-isy}dy\right)e^{isx}ds \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ts^2}e^{is(x-y)}dsdy $$