Es $| |f|(y) - |f|(x) | \leq |f(y)-f(x)|$ ¿Siempre es verdad?

Question

Sea $f$ sea una función de valor real sobre $[a,b]$ y $|f|$ sea el módulo de $f.$

Pregunta : Dado cualquier par de puntos $x$ y $y$ en $[a,b]$ con $x<y,$ ¿es siempre cierto que $$| |f|(y) - |f|(x) | \leq |f(y)-f(x)|?$$

Creo que sí. El siguiente es mi intento:

Si ambos $f(x)$ y $f(y)$ son positivas, entonces la desigualdad es trivial.

Si $f(x)>0$ y $f(y)<0,$ entonces $$||f|(y) - |f|(x)| = |-f(y) - f(x)| = |f(y) + f(x)| \leq | f(x) - f(y) |.$$

Del mismo modo, si $f(x)<0$ y $f(y)>0,$ entonces $$||f|(y) - |f|(x)| = |f(y) + f(x)| \leq |f(y)-f(x)|.$$

Por último, si $f(y)<0$ y $f(x)<0,$ entonces $$||f|(y) - |f|(x)| = |-f(y) + f(x)| = |f(y) - f(x)|.$$

¿Es correcto mi intento?

Creo que esta no es una forma eficiente de demostrar la desigualdad. Si hay una manera más corta, me gustaría verla.

Answer 1

No hay $x<y$ necesario.

Otra forma es hacer como \begin{align*} |f(y)|-|f(x)|&=|f(y)-f(x)+f(x)|-|f(x)|\\ &\leq|f(y)-f(x)|+|f(x)|-|f(x)|\\ &=|f(y)-f(x)| \end{align*} por la desigualdad triangular habitual.

La simetría da $|f(x)|-|f(y)|\leq|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|$ Así que $||f(y)|-|f(x)||\leq|f(y)-f(x)|$ .

Answer 2

Pista: $\left||u|-|v|\right| \leq |u-v|$ .

Answer 3

Obsérvese que para cada número real $a$ y $b$

$$|a|\le |b|+|a-b|$$

y

$$|b|\le |a|+|a-b|$$

Así $$|b|-|a-b|\le |a|\le |b|+|a-b|$$

Así $$ -|a-b|\le |a|-|b|\le |a-b|\implies$$

$$ ||a|-|b||\le |a-b|$$