Insesgadez asintótica del estimador

Question

Me refiero a la fórmula que aparece en el minuto 2:18 del siguiente vídeo

https://www.youtube.com/watch?v=6i7mqDJICzQ

¿Puede alguien explicar cómo ha llegado a esto?

$\bar{X}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^Nx_{i}$

a:

$E(\bar{X})=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^NE(x_{i})$

La primera fórmula es la media de los valores de $x_i$ . La segunda fórmula debería ser la "media de medias", ¿no? Si $N$ es el tamaño de la muestra, ¿cómo puede ser cierta la segunda fórmula?

Answer 1

X_bar es una variable aleatoria pero el denominador habitualmente sería N en lugar de N-1. La asíntota funciona en ambos casos. La segunda ecuación se seguiría por linealidad de la expectativa, como ya se ha mencionado. De nuevo, la fórmula tendría habitualmente N en el denominador. Las x_i representan en realidad una secuencia de variables aleatorias. Puede ser más fácil pensar en el caso especial cuando son independientes e idénticamente distribuidas. No las considere como los valores reales de la muestra.

E(x_i) es la media poblacional m. La segunda ecuación muestra que la media muestral tiene el mismo valor esperado que las observaciones individuales. Esto no significa que una realización de la media muestral sea siempre m. Más bien, si se generan muestras repetidamente y se calcula la media muestral cada vez, la media aritmética de todas estas realizaciones se aproximará a m y convergerá a m a medida que aumente el número de repeticiones.

Answer 2

Esto se debe a la linealidad del valor esperado .