Demostrar que hay infinitos números enteros positivos que NO son de la forma $4xy+3x+y$ o $4xy+3x-y$

Question

Problema: Demuestre que hay infinitos números enteros positivos que no se pueden escribir como

$4xy+3x+y$

O

$4xy+3x-y$ ,

donde $x,y$ son números enteros positivos, y $y$ también puede ser cero.

Intenté empezar con lo siguiente:

He puesto $4xy+3x+y=m$ y resuelto para $x$ de modo que $x=\frac{m-y}{4y+3}$ y como x es un número entero, trató de encontrar la solución (también para $4xy+3x-y=m$ ), pero se atascó.

Answer 1

Lo siento, no hay solución, sólo algunas observaciones.

Supongamos que el número entero positivo $n$ no puede escribirse como $4xy+3x+y$ o $4xy+3x-y$ para números enteros $x\geq1$ y $y\geq0$ . Entonces la primera restricción puede reescribirse como $$n \neq 4 x y + 3 x + y$$ $$4 n + 3 \neq 16 x y + 12 x + 4 y + 3 = (4 x + 1)(4 y + 3)$$ Dado que cualquier número compuesto de la forma $4n+3$ siempre puede factorizarse así, se deduce por necesidad que $4n+3$ tiene que ser un número primo.

Para la segunda restricción, tenemos $$n \neq 4 x y + 3 x - y$$ $$4 n - 3 \neq 16 x y + 12 x - 4 y - 3 = (4 x - 1)(4 y + 3)$$ lo que implica que el número $4n-3$ no puede tener ningún factor de la forma $4 m+3$ .

En particular, esto sería cierto si ambos $4n-3$ y $4n+3$ sería primo, es decir, un par primo sexy, pero con la restricción adicional de que su media es múltiplo de 4. Aunque se conjetura que hay infinitos pares primos sexy, esto aún no está demostrado.

El primer par de números $n$ viene dado por $\{1,2,4,5,7,10,11,14,16,17,19,\dots \}$ . Entre ellos sólo 7 y 17 no están relacionados con tal par primo, es decir, para $n=7$ se obtendría $4 \times 7 \pm 3 = 25,31$ .

En conclusión, cualquier $n$ implicaría que $4n+3$ es un primo y que $4n-3$ sólo contiene factores primos de la forma $4m+1$ . Que yo sepa, aún no se ha demostrado que existan infinitos números de este tipo.