¿La recta real con su grupo aditivo es un grupo topológico?

Question

Quizás sea una pregunta estúpida, estoy empezando a estudiar grupos topológicos, me cuesta demostrar que la recta real es un grupo topológico con su estructura de grupo aditivo y topología euclidiana, precisamente la parte que tenemos que demostrar que si $g_1$ y $g_2$ $\in$ R, entonces el mapa de multiplicación $G\times G \to G$ definido por $m(g_1,g_2)=g_1 + g_2$ es continua. Alguien me puede ayudar por favor.

Answer 1

Sea $\mathbb R$ sea la recta real con su estructura de grupo aditivo y topología euclidiana. Queremos demostrar que la recta real es efectivamente un grupo topológico. Sea $i:\mathbb R \to \mathbb R$ definido por $i(x)=-x$ y $m:\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ definido por $m(x,y)= x+y$ . tenemos que demostrar lo siguiente: (a) $i$ es continua (b) $m$ es continua.

(a) Por un argumento de análisis real sabemos que $i$ es continua, porque $i$ es una función polinómica con coeficientes reales.

(b) Sabemos que la proyección $\Pi_1:X\times Y \to X$ , $\Pi_1(x,y)=x$ donde $X$ y $Y$ son espacios topológicos, es siempre continua porque para cualquier subconjunto abierto $U$ de X, tenemos $\Pi^{-1}(U)=U\times Y$ un subconjunto abierto de $X \times Y$ .

Con el mismo argumento, la proyección $\Pi_2:X\times Y \to Y$ , $\Pi_2(x,y)=y$ donde $X$ y $Y$ son espacios topológicos, también es continua.

Así que por un argumento de análisis real que afirma que la suma de funciones continuas es continua y como sabemos $m =\Pi_1 +\Pi_2$ entonces m es continua.

Answer 2

Sea $g_1,g_2 \in \mathbb{R}$ y $\epsilon>0$ .

A continuación, para cada $(r_1,r_2)\in (g_1-\frac{\epsilon}{2},g_1+\frac{\epsilon}{2}) \times (g_2-\frac{\epsilon}{2},g_2+\frac{\epsilon}{2})$ tenemos que $$m(r_1,r_2)=r_1+r_2 \in (m(g_1,g_2)-\epsilon,m(g_1,g_2)+\epsilon) \ .$$

Así que si la definición para funciones continuas que tienes es:

$f:A\longrightarrow B$ es continua en $a \in A$ si para cada barrio abierto $U$ de $f(a) \in B$ existe un barrio abierto $V$ de $a \in A$ tal que $$\forall x \in V \; \Rightarrow\; f(x) \in U \ .$$

entonces $m$ es continua.

Answer 3

La adición es continua debido a la conocida "ley de adición para límites":

$$\lim x_n=x \text{ and }\lim y_n=y\ \Rightarrow \lim (x_n+y_n)=x+y.$$

Answer 4

Para demostrar que la suma es continua tendrás que usar la definición de continuidad. No estoy seguro de qué definición de continuidad utiliza tu libro/clase/notas, pero una vez que escribas los detalles de la definición debería estar relativamente claro. Si no, puedes editar tu pregunta para explicar dónde te has atascado.