La curvatura de una curva plana de coordenadas polares

Question

Sea una curva plana de coordenadas polares ( $\theta$ , $\rho (\theta )$ ) y que $k(\theta)$ sea su curvatura se puede preuve que

$k(\theta) = \frac{2({\rho }')^{2}-\rho {\rho }''+ \rho ^{2}}{({\rho }'^{2}+\rho ^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Podemos hacer esto con algunos cálculos, pero necesito un método con menos cálculos posibles.

gracias por la ayuda .

Answer 1

@RobertLewis ha solicitado una derivación de la expresión para la curvatura que di en mi otra respuesta. Esto es lo suficientemente complicado como para justificar una respuesta aparte.

Hay que entender varias cosas antes de hacer la derivación propiamente dicha:

1. El argumento de un número complejo. Consideremos que

$$z=|z|e^{i\theta},\quad z^*=|z|e^{-i\theta}$$

entonces

$$\frac{z}{z^*}=e^{2i\theta}\quad \text{or}\quad e^{i\theta}=\sqrt{\frac{z}{z^*}}\quad \text{or}\quad \theta=\frac{1}{2i}\ln\frac{z}{z^*}$$

Puede comprobarlo usted mismo. Comience con $\ln z=\ln |z|+i\theta$ .

2. La curvatura, $\kappa$ se define en términos del ángulo tangente, $\tau$ y la longitud del arco, $s$ por la solución integral de Euler para curvas planas,

$$\tau =\int{\kappa \left( s \right)\,ds;\,\,\,\,\,\,\,\,{d\tau }/{ds=\kappa \left( s \right)}\;}\\ \kappa(\theta)=\frac{d\tau}{d\theta}\frac{d\theta}{ds}$$

donde $\theta$ es el ángulo polar. También sabemos que para cualquier representación paramétrica, la longitud de arco viene dada por

$$s=\int |\dot z|du\\ \frac{ds}{du}=|\dot z|=\sqrt{\dot z\dot z^*}$$

3. Ahora podemos unir todo esto para derivar la curvatura en términos del ángulo polar. Primero, sin embargo, debemos darnos cuenta de que el ángulo tangente es igual al argumento de la derivada de la curva, es decir,

$$\begin{align} \tau(\theta) &=\frac{d\tau}{d\theta}\frac{d\theta}{ds}\\ &=\frac{1}{2i}\ln\frac{\dot z}{\dot z^*} \end{align}$$

Entonces

$$\begin{align} \tau(\theta) &=\arg \dot z\\ \kappa(\theta) &=\frac{1}{2i}\frac{d}{d\theta}\left(\ln\frac{\dot z}{\dot z^*}\right)\frac{1}{\sqrt{\dot z\dot z^*}}\\ &=\frac{1}{2i}\frac{d}{d\theta}(\ln\dot z-\ln\dot z^*)\frac{1}{\sqrt{\dot z\dot z^*}}\\ &=\frac{1}{2i}\left(\frac{\ddot z}{\dot z}-\frac{\ddot z^*}{\dot z^*}\right)\frac{1}{\sqrt{\dot z\dot z^*}}\\ &=\frac{1}{2i}\frac{\dot z^*\ddot z-\dot z\ddot z^*}{(\dot z\dot z^*)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{2i}\frac{\dot z^*\ddot z-(\dot z^*\ddot z)^*}{(\dot z\dot z^*)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{2i}\frac{2i\mathfrak{Im}\{\dot z^*\ddot z\}}{(\dot z\dot z^*)^{3/2}}\quad \text{since}\quad Z-Z^*=2i\mathfrak{Im}\{Z\}\\ &=\frac{\mathfrak{Im}\{\dot z^*\ddot z\}}{|\dot z|^3} \end{align}$$

Esto completa la derivación.

Answer 2

La ecuación de la curvatura es algo más sencilla en variables complejas. A saber, si $z=r(\theta)e^{i\theta}$ entonces

$$\kappa(\theta)=\frac{\mathfrak{Im}\{\dot z^*\ddot z\}}{|\dot z|^3}$$

donde $\dot z=dz/d\theta~$ y $()^*$ es el conjugado. Por supuesto, en el análisis final ambos deben ser el mismo, pero si usted está haciendo esto en un programa, entonces esto es mucho más simple.