Resolver $rX_1^2+sY_1^2+tZ_1^2=rX_2^2+sY_2^2+tZ_2^2$ completamente en números enteros

Question

Dados dos números enteros relativamente primos $r,s,t$ Estoy buscando una solución completa ( es decir, parametrización entera o similar) para la ecuación diofantina $$ rX_1^2+sY_1^2+tZ_1^2=rX_2^2+sY_2^2+tZ_2^2. \tag{$ \bigstar $} $$ Sé que puedo juntar términos en un lado y aplicar la parametrización Bachet-Cauchy-Bezout en términos lineales pero esperaba que esta rueda ya estuviera resuelta.

EDICIÓN/ACLARACIÓN:

Utilizando la solución lineal completa clásica de Bachet-Cauchy-Bezout, podemos resolver la ecuación $$ r(x_1^2-x_2^2)+s(y_1^2-y_2^2)+t(z_1^2-z_2^2)=0, $$ para obtener tres ecuaciones lineales de la forma $$ sc_1+t(-b_1)+(x_2-x_1)(x_2+x_1)=0, $$ donde $a_1,b_1,c_1$ son números enteros arbitrarios. Aplicando de nuevo la solución completa a cada una de las tres nuevas ecuaciones se obtienen tres soluciones de la forma \begin{align} x_1 &= \frac{(sb_2-ta_2)^2+(sc_1-tb_1)}{2(sb_2-ta_2)} &&\text{and}& x_2 &= \frac{(sb_2-ta_2)^2-(sc_1-tb_1)}{2(sb_2-ta_2)}, \end{align} donde el $a_i,b_i,c_i$ son números enteros arbitrarios. Una vez igualados y resueltos, el resultado sería ostensiblemente la parametrización entera completa de $(\bigstar)$ .

Answer 1

$U = X_1^2 - X_2^2$ , $V = Y_1^2 - Y_2^2$ , $W = Z_1^2 - Z_2^2$ puede ser cualquier solución de $r U + s V + t W = 0$ de forma que ninguna sea congruente con $2 \mod 4$ . Entonces para cualquier factorización $U = A B$ con $A \equiv B \mod 2$ tomas $X_1 = (A+B)/2$ , $X_2 = (A-B)/2$ etc.

Answer 2

En busca de ayuda: $$\left( {{r}_{4}^{2}}s+{{r}_{3}^{2}}n+{{r}_{1}^{2}}m+{{r}_{2}^{2}}k\right) \,\left( s\,{{t}^{2}}+n\,{{p}^{2}}+{{h}^{2}}m+{{b}^{2}}k\right) =$$ $${{\left( {{r}_{4}}st+{{r}_{3}}np+{{r}_{1}}hm+{{r}_{2}}bk\right) }^{2}}+ns\,{{\left( {{r}_{3}}t-{{r}_{4}}p\right) }^{2}}+ks\,{{\left( {{r}_{2}}t-{{r}_{4}}b\right) }^{2}}+$$ $$ms\,{{\left( {{r}_{1}}t-{{r}_{4}}h\right) }^{2}}+kn\,{{\left( {{r}_{2}}p-{{r}_{3}}b\right) }^{2}}+mn\,{{\left( {{r}_{1}}p-{{r}_{3}}h\right) }^{2}}+{{\left( {{r}_{2}}h-{{r}_{1}}b\right) }^{2}}km$$ Resultado: $$n\,{{\left( {{r}_{3}}t+{{r}_{1}}hm+{{r}_{2}}bk\right) }^{2}}+k\,{{\left( {{r}_{2}}t-{{r}_{3}}bn\right) }^{2}}+m\,{{\left( {{r}_{1}}t-{{r}_{3}}hn\right) }^{2}}=$$ $$n\,{{\left( {{r}_{3}}t-{{r}_{1}}hm-{{r}_{2}}bk\right) }^{2}}+k\,{{\left( {{r}_{2}}t+{{r}_{3}}bn\right) }^{2}}+m\,{{\left( {{r}_{1}}t+{{r}_{3}}hn\right) }^{2}}$$

Answer 3

Para la ecuación.

$$rX_1^2+sY_1^2+tZ_1^2=rX_2^2+sY_2^2+tZ_2^2$$

Puedes escribir la solución de esta forma.

$$X_1=r(e-k)^2+s(n-p)(n+p-2k)+t(j-u)(j+u-2k)$$

$$X_2=r(e-k)^2-s(n-p)(n+p-2e)-t(j-u)(j+u-2e)$$

$$Y_1=s(n-p)^2+r(e-k)(e+k-2p)+t(j-u)(j+u-2p)$$

$$Y_2=s(n-p)^2-r(e-k)(e+k-2n)-t(j-u)(j+u-2n)$$

$$Z_1=t(j-u)^2+r(e-k)(e+k-2u)+s(n-p)(n+p-2u)$$

$$Z_2=t(j-u)^2-r(e-k)(e+k-2j)-s(n-p)(n+p-2j)$$

Tal registro es mejor porque permite resolver la ecuación simétrica con cualquier número de sumandos. Sólo es necesario aumentar el número de parámetros.