Densidad polar de un conjunto de primos

Question

En El capítulo 7 de la obra de Marcus Campos numéricos define el densidad polar de un conjunto $A$ de los primos de un campo numérico $K$ de la siguiente manera:

Definición: Si algunos $n$ potencia de la función $$\zeta_{K,A}(s) = \prod_{P \in A} \left(1-\frac{1}{\|P\|^s} \right)^{-1}$$ puede extenderse a una función meromorfa en una vecindad de $s=1$ , que tiene un polo de orden $m$ en $s=1$ entonces la densidad polar de $A$ es $\delta(A) = \dfrac{m}{n}$ .

¿Existen conjuntos de números primos relativamente fáciles de describir que no permitan definir esta densidad?

Answer 1

También podríamos limitarnos a $K=\mathbb Q$ para que $\zeta_A(s) = \prod_{p\in A} (1 - p^{-s})^{-1}$ . Si la densidad polar de $A$ existe, entonces la densidad de Dirichlet existe y es igual. En particular, si la densidad natural y la densidad polar de $A$ ambos existen, entonces deben ser el mismo.

Como la definición de densidad polar sólo es capaz de producir números racionales, basta con nombrar un conjunto de primos $A$ teniendo una densidad natural que es irracional.

Se me ocurren varios conjuntos naturales de primos que debe tienen una densidad irracional, pero no se me ha ocurrido ninguno que sea a la vez estético y de densidad probadamente irracional.

Algunos ejemplos incompletos:

• El conjunto de primos con $p-1$ El cuadrado libre tiene una densidad igual a la constante de Artin $\prod_p (1-\frac{1}{p(p-1)})$ , ver https://math.stackexchange.com/a/155117/30402 . Se presume, pero no se sabe, que la constante de Artin es irracional.
• El conjunto de primos para los que $p-1$ tiene un factor primo mayor que $\sqrt{p}$ se conjetura que es $\log 2$ que es la densidad exacta de los enteros $n$ poseer una propiedad similar.

Por supuesto, es posible describir de forma menos sucinta un conjunto de primos que tenga cualquier densidad en $[0,1]$ . Todavía me pregunto si hay una variación simple que dé una constante de serie singular obviamente irracional como $6/\pi^2$ .

Otro enfoque es tomar un conjunto disperso de primos para los que $\prod_p(1-1/p)^{-1}$ sigue divergiendo lentamente (por ejemplo, si la función de recuento es $x/(\log x \log \log x)$ ). Esto tendrá una densidad natural $0$ pero la singularidad en $s=1$ evita $\zeta_A(s)$ de ser continuada a una función holomorfa en una vecindad de $1$ (por un resultado de Landau).

La unión disjunta de un conjunto de este tipo con uno que ya tiene densidad polar debería carecer también de densidad polar, incluso con una densidad natural racional.