Aproximación de la distribución uniforme en un intervalo con una distribución en los racionales

Question

¿Existe una función $p:\mathbb{Q}\cap[0,1]\to\mathbb{R}$ st. para cualquier $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ tenemos $\sum_{x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]} f(x)p(x) =\int_0^1 f(x)dx$ ?

Si esto no es posible, entonces qué tal otras clases de funciones para f, por ejemplo, funciones infinitamente diferenciables, funciones analíticas, polinomios.

Answer 1

Interpretando la afirmación en el sentido de que la suma sobre los racionales del lado izquierdo converge absolutamente, entonces no, no es posible.

Sea $r_n$ sea una enumeración de $\mathbb Q\cap [0,1]$ y que $p_n:=p(r_n)$ .

Entonces $\sum_n p_n = 1$ (la convergencia es absoluta). Sea $\epsilon>0$ y que $N$ sea tal que $\sum_{n\geq N}|p_n|<\epsilon$ . Sea $f$ sea una continua (o incluso $\mathcal C^{\infty}$ ) función $[0,1]\to[0,1]$ tal que $f(r_n)=1$ para todos $n<N$ y $\int_0^1 f(x) dx<\epsilon$ . Entonces, $$ \int_0^1f(x)dx -\sum_{n\geq N} f(r_n)p_n=\sum_{n<N}p_n>1-\epsilon. $$ Por otro lado, $$ \left|\int_0^1f(x)dx -\sum_{n\geq N} f(r_n)p_n\right|\leq 2\epsilon $$ y si empezamos este argumento con $\epsilon<1/3$ llegamos a una contradicción.