¿Cuáles son los cálculos exactos en esta prueba de hipótesis?

Question

¿Puede alguien explicar cómo se ha calculado que esta cifra es la correcta?

Pruebas $H_0: p=0.4$ contra $H_1: p<0.4$ con $n=11$ ensayos al nivel de significación $5\%:$

Número de aciertos: $X=2.$

Una cola $5\%$ probabilidad de cola = $0.05.$

Y la respuesta es $P(X\le2)=0.1189.$

Agradecería mucho si alguien me puede explicar cómo se calcula 0,1189 con detalles. Y cómo se llama el proceso?

Answer 1

Comentarios en encontrar el valor P de esta prueba y en la escasa potencia de la misma.

Valor P: Cálculo binomial exacto. La sugerencia de @BenBolker muestra cómo obtener el exacto Valor P $0.1189$ de la prueba utilizando R para calcular la probabilidad de obtener 2 o menos aciertos bajo la hipótesis nula---que el número observado de aciertos $X \sim \mathsf{Binom}(n=11, p=.4).$ Eso es, $P(X \le 2\,|\,n=11,p=0.4) = 0.1189.$ [En R, la función pbinom es una CDF binomial].

pbinom(2, 11, .4)
[1] 0.1189168

---

Addendum por comentario: Puede obtener esta respuesta a partir de la fórmula PDF de la distribución binomial $\mathsf{Binom}(n=11, p=.4).$ Con $n=11$ y $p =0.4,$ buscas $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2).$

La fórmula es $P(X = k) = {11 \choose k}(0.4)^k(1-0.4)^{11-k},$ para $k = 0, 1, 2, \dots, 11.$

En particular, $P(X=1) = {11\choose 1}(0.4)(0.6)^{10} = 11(.4)(0.006046618) = 0.02660512,$ que podría redondear a $0.0266.$

Utilizando ${11\choose 0} = 1,$ puedes encontrar $P(X=0) = (1)(.4)^0(.6)^{11} = (0.6)^{11} = 0.0036.$

Del mismo modo, $P(X = 2) = {11 \choose 2}(.4)^2(.6)^9 = 0.0887,$ porque ${11\choose 2}=\frac{11!}{2!\cdot 9!} = \frac{110}{2} = 55.$

Por fin, $P(X \le 2) = 0.00363 + 0.02660 + 0.08868 = 0.1189.$

11*.4*.6^10
[1] 0.02660512
dbinom(1,11,.4)
[1] 0.02660512

.6^11
[1] 0.003627971
dbinom(0,11,.4)
[1] 0.003627971

(110/2)*.4^2*.6^9
[1] 0.08868372
dbinom(2,11,.4)
[1] 0.08868372
choose(11, 2)
[1] 55

0.00363 + 0.02660 + 0.08868
[1] 0.11891
sum(dbinom(0:2,11,.4))
[1] 0.1189168
pbinom(2, 11, .4)
[1] 0.1189168

---

La aproximación normal a la binomial no es exacta. Puede que hayas estado acostumbrado a utilizar una aproximación normal a la binomial para obtener los valores P de las pruebas binomiales. Para ello, empezaría por estandarizar.

Normalizar para obtener $Z = \frac{2 = np}{\sqrt{np(1-p)}} = -1.447,$ suponga que $Z$ es normal estándar, y así obtenemos $P(X \le 2) \approx P(Z \le -1.447) = 0.0698 \ne 0.1189.$ [Si utiliza una corrección de continuidad, obtendrá una mejor aproximación: $P(X \le 2) = P(X \le 2.5)$ $\approx P(Z \le -1.1694) =$ $0.1211.$ ]

n=11;  p=.4
mu = 11*.4;  mu
[1] 4.4
sd = sqrt(11*.4*.6); sd
[1] 1.624808
z = (2-mu)/sd; z
[1] -1.477098
pnorm(z)
[1] 0.0698247
zc = (2.5-mu)/sd; zc  # continuity correction
[1] -1.169369
pnorm(zc)
[1] 0.1211275

Este método aproximado no da una respuesta exacta para su prueba porque $n$ no es lo suficientemente grande como para utilizar una aproximación normal. [Una regla es utilizar la aproximación normal sólo si tanto $np$ y $n(1-p)$ superan 5. Entonces puede esperar unos dos decimales de precisión, si $p$ no está muy lejos de $1/2.]$

Nivel de significación de la prueba. Una prueba exactamente al nivel del 5% requeriría aleatorización. En $H_0,$ we tenemos $P(X \le 2) = 0.1189$ y $P(X \le 1) = 0.03.$ Así que una prueba en (sobre) el 3% rechaza si el número observado $X$ de aciertos es 1 o menos.

pbinom(1, 11, .4)
[1] 0.03023309

Potencia de la prueba. Utilizando $n = 11$ ensayos para probar esta hipótesis no sólo es demasiado pequeño para utilizar un aproximación normal. También es demasiado pequeño para proporcionar una buena potencia. La potencia es la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando es falso.

Por ejemplo, si la verdadera probabilidad de éxito fuera $p = 0.2,$ entonces utilizando el criterio para rechazar $X \le 1,$ la probabilidad de rechazar $H_0$ es sólo de $0.3221 \approx 32\%.$ Así que, para muchos fines prácticos, las pruebas $H_0$ con sólo $n=11$ ensayos no es una buena idea.

pbinom(1, 11, .2)
[1] 0.3221225

Utilizar más pruebas para obtener más potencia. En cambio, si utilizáramos $n = 50$ ensayos, entonces una prueba que rechaza para $X \le 13$ se sitúa en torno al 3%, y el poder contra el alternativa $p = 0.2$ es $0.8894$ o casi $89\%.$

pbinom(13, 50, .4)
[1] 0.02798836       # Significance level
pbinom(13, 50, .2)
[1] 0.8894135        # Power against p=0.2