Estoy teniendo un tiempo difícil entender por qué el cuadro de topología es más el producto de la topología. Por supuesto sé que con finito de producto, los dos son el mismo. Con el producto de la topología, la base de los elementos se definen por lo que el$U{\alpha}=X\alpha$, excepto para un número finito de $\alpha$. Entonces, ¿cómo puede esta topología ser incluidas en el cuadro de la topología que tiene sólo el producto de la $U{\alpha}$ como base. Creo que debería haber sido al revés. Me estoy perdiendo algo aquí? Necesito ayuda con esto porque me he confundido sobre él durante mucho tiempo.
Respuesta
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Fijar un conjunto $X=\prod_{\alpha\in I} X_\alpha$ donde $I$ es infinito, y considerar las dos topologías.
El cuadro de topología es más fina que la topología producto, porque si $U_\alpha\subset X_\alpha$ es una adecuada subconjunto, a continuación, $U=\prod_\alpha U_\alpha$ estará abierta en el cuadro de topología (y básico), pero no es abierto en la topología producto. Un conjunto no puede ser abierto en la topología producto, debido a que cada conjunto abierto en la topología producto es la unión abierto básicos de conjuntos, cada uno de los cuales ha $U_\alpha=X_\alpha$ para todos, pero un número finito de términos. En particular, esto significa que cualquier conjunto abierto de $X$ en la topología producto debe contener un subconjunto de la forma $\prod_\alpha U_\alpha$ donde $U_\alpha=X_\alpha$ en casi todas las $\alpha$.
