Confirme el significado de primo y primitivo en un polinomio de Galois(2).

Question

Aquí analiza primality (o más exactamente irreducibility ) y primitivity de polinomios en $G(2)$ . Más concretamente, establece que $x^6 + x + 1$ es irreducible y primitive .

Pero aquí Puedo dividir $x^7 + 1$ por $x^6 + x + 1$ y obtener $x$ resto $x^2+x+1$ . Seguramente esto significa que el orden de $x^6 + x + 1$ es como máximo $7$ y, por tanto, ni de lejos $2^6-1 = 63$ como exige la primitividad.

¿Qué error estoy cometiendo?

Supongo que es mi interpretación de

El orden de un polinomio $f(x)$ para lo cual $f(0)$ no es $0$ es el número entero más pequeño $e$ para lo cual $f(x)$ divide $x^e+1$ . Un polinomio sobre GF(2) es primitivo si tiene orden $2^n-1$ .

Answer 1

Según la definición del primer enlace que has proporcionado, para ver que el orden de $x^6+x+1$ es $2^6-1$ sólo tiene que comprobar que $(x^6+x+1)\nmid (x^{n}+1)$ para todos $n<2^6-1$ y que $x^6+x+1$ divide $x^{2^6-1}+1$ . Una comprobación informática confirmará fácilmente que es así.

No veo ninguna razón por la que la división de $x^7+1$ por $x^6+x+1$ dando cociente x y resto $x^2+x+1$ implicaría que el orden es como máximo $7$ como tú decías.