Integral del valor absoluto de X y área bajo la curva.

Question

Esta es mi pregunta. Sabemos que el valor absoluto de X parece:

Claramente, podemos ver, como el valor absoluto de x es siempre mayor o igual que 0, el área bajo la curva es siempre positiva. ¿Por qué entonces se integra a lo siguiente? ¿Donde la función integral toma valores negativos? Entiendo, sin embargo, que la derivada de la siguiente función resulta ser lo que cabría esperar: |x|

EDITAR : Supongo que esta pregunta es un poco estúpida. Estoy confundiendo la integral definida con la integral indefinida. Me doy cuenta de que si tomo dos puntos cualesquiera y tomo la diferencia entre los valores de la integral indefinida evaluados en estos puntos, obtengo un valor positivo para el área.

Answer 1

Tu intuición parece decirte que la antiderivada de una función siempre positiva debe ser siempre positiva. Pero esto no es correcto. Esto es un contraejemplo. Integrando $x^2 + 1$ es otro ejemplo: su antiderivada es $\frac{x^3}{3} + x + C$ que no siempre es positivo.

En cambio, la propiedad correcta que debemos esperar es que la función sea siempre aumentando . Partiendo de una función positiva $f(x)$ sabemos que $\displaystyle \int_a^b f(x) dx > 0$ . En concreto, esto debería significar que $\displaystyle F(x) = \int_0^x f(t) dt$ que es la antiderivada, sea estrictamente aumentando función.

Por ejemplo, $\int_a^b f(x) dx > 0 \iff F(b) - F(a) > 0$ para que veamos que $F(x)$ debe ser estrictamente creciente.

En este caso, $\frac{1}{2}x^2 \text{sgn}(x)$ es una función estrictamente creciente, por lo que podría ser la antiderivada de una función positiva (como es el caso).

Answer 2

Respondo a mi propia pregunta estúpida en aras de la exhaustividad.

Estoy confundiendo la integral definida con la integral indefinida. Observo que si tomo dos puntos cualesquiera y tomo la diferencia entre los valores de la integral indefinida evaluados en esos puntos, obtengo un valor positivo para el área. Al mismo tiempo, la derivada de la integral indefinida da |x|.

es decir

$$ \left(\frac{x^2 * sgn(x)}{2}\right)_{-1}^{0} = (0 - \frac{-1}{2}) = \frac{1}{2} $$

que es la misma que el área del triángulo de abajo: