Resumen: Como regla general, si la relación de dispersión es una $n$ polinomio de orden th en $k$ debe especificar $n$ condiciones espaciales límite. En concreto, habría que especificar cuatro condiciones de contorno espaciales en la interfaz entre los medios. Si estamos hablando de una onda escalar, sin ningún estado de polarización, esto implica que tendrías que especificar la continuidad de la función y sus derivadas primera a tercera para resolver la onda transmitida.
Supongamos que estamos hablando de un campo escalar que se propaga en 1-D. En otras palabras, estamos hablando del comportamiento de una función escalar $u(x,t): \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que obedece a algún tipo de EDP. Sabemos que $u(x,t)$ admitirá una representación de Fourier: $$ u(x,t) = \frac{1}{2 \pi} \iint \tilde{u}(k,\omega) e^{-i k x} e^{-i \omega t} \, dk \, d \omega $$ La relación de dispersión dada implica que las ondas sólo pueden propagarse cuando $(\omega^2 - c_a^2 k^2)(\omega^2 - c_b^2 k^2) = 0$ Esto implica que el soporte de $\tilde{u}$ se limita a esta superficie, y que por lo tanto $$ (\omega^2 - c_a^2 k^2)(\omega^2 - c_b^2 k^2) \tilde{u}(k, \omega) = 0. $$ Tomando la transformada de Fourier de esta ecuación, tenemos que $$ \frac{1}{2 \pi} \iint (\omega^2 - c_a^2 k^2)(\omega^2 - c_b^2 k^2) \tilde{u}(k,\omega) e^{-i k x} e^{-i \omega t} \, dk \, d \omega = 0 \\ \frac{1}{2 \pi} \iint \left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right]\left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_b^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right] \tilde{u}(k,\omega) e^{-i k x} e^{-i \omega t} \, dk \, d \omega = 0 \\ \left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right]\left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_b^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right] \left\{ \frac{1}{2 \pi} \iint \tilde{u}(k,\omega) e^{-i k x} e^{-i \omega t} \, dk \, d \omega \right\}= 0 \\ \left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right]\left[ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + c_b^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right] u(x,t) = 0 $$ Así, $u(x,t)$ debe satisfacer la EDP de cuarto orden $$ \frac{\partial^4 u}{\partial t^4} - (c_a^2 + c_b^2) \frac{\partial^4 u}{\partial t^2 \partial x^2} + c_a^2 c_b^2 \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = 0. $$
A partir de esta ecuación, podemos ver por qué especificar dos condiciones en el límite entre las interfaces es insuficiente. Como regla general, para encontrar una solución única a una EDP, hay que especificar tantas condiciones de contorno en una dirección dada como derivadas haya en esa dirección.
El problema de la transmisión de ondas corresponde a decir que la función y todas sus derivadas temporales son cero en algún momento "temprano", y que especificamos (a través de la forma de la onda entrante) la función en la "frontera" espacial del medio en todo momento. Puesto que hay cuatro derivadas espaciales presentes en la EDP anterior, necesitaríamos especificar cuatro datos en la frontera espacial. En otras palabras, si la frontera está en $x = 0$ tendríamos que especificar $$ u(0,t), \qquad u'(0,t), \qquad u''(0,t), \qquad u'''(0,t), $$ donde un primo $'$ indica $\partial/\partial x$ . Esto, junto con las condiciones de valor inicial $$ u(x,0) = \dot{u}(x,0) = \ddot{u}(x,0) = \dddot{u}(x,0) = 0 $$ (los puntos representan las derivadas temporales) conducirá genéricamente a una solución única para $u$ .
Este método puede extenderse a cualquier relación de dispersión polinómica en $\omega$ y $k$ en general, si la relación de dispersión es de la forma $f(\omega, k) = 0$ entonces la ecuación de onda debe ser $$ f \left( i \frac{\partial}{\partial t}, i \frac{\partial}{\partial x} \right) \left[ u(x,t) \right] = 0. $$ El número de condiciones de contorno necesarias vendrá determinado entonces por el orden de esta EDP, que a su vez vendrá determinado por el orden del polinomio $f(\omega, k)$ .
