Magnitud de la serie sobre primos $p$ de funciones exponenciales $\sum_{p} e^{-pt}$

Question

Es la magnitud de la serie $\sum_{p} e^{-pt}$ sumado sobre todos los primos $p$ con $t$ una constante real positiva conocida?

Answer 1

Considere $$ f(t) = \sum_{p \text{ prime}} e^{-t p} $$ y que $g(z)$ sea el $$ g(z) = \sum_{p \text{ prime}} z^p $$ Claramente, tenemos la relación $g(e^{-t}) = f(t)$ . Una nota interesante es que por el Teorema de la Brecha de Fabry, $g(z)$ tiene un límite natural en $|z| = 1$ Así que $f(t)$ tendrá un límite natural en el eje imaginario. Ninguna de estas funciones tiene una forma cerrada sencilla en términos de ninguna función que yo haya visto, aunque la transformada de Mellin de $f$ es relativamente sencillo (véase más adelante).

Para la asíntota de $f(t)$ como $t$ va a $\infty$ ya que $2$ es el primo más pequeño, seguramente tendremos $$ \lim_{t\rightarrow\infty} e^{2 t}f(t) = \lim_{t\rightarrow\infty} \sum_{p \text{ prime}} e^{-t (p-2)} = 1 + \lim_{t\rightarrow\infty} \sum_{p > 2 \text{ prime}} e^{-t (p-2)} = 1 $$ dándonos la equivalencia asintótica $f(t) \sim e^{-2t}$ . En $t$ se acerca a $0$ es mucho más difícil. Podemos ver fácilmente que $$f(t) < \sum_{n\ge 2} e^{-t n} = \frac{e^{-2 t}}{1 - e^{-t}} \sim_{t\rightarrow 0^+} \frac1t$$ En realidad podemos hacerlo un poco mejor que esto, ya que mostraremos que asintóticamente como $t$ se acerca a $0$ tenemos $f(t) \sim \frac1{t\log t}$ . Para ello, obsérvese que la transformada de Mellin de $f$ es: $$ \operatorname{M}[f](s) = \int_0^\infty t^{s-1} f(t) dt = \sum_p \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t p} dt = \sum_p p^{-s} \Gamma(s) = P(s)\Gamma(s) $$ donde $P(s)$ es el función zeta primera que se sabe que tiene una singularidad logarítmica en $s = 1$ . En efecto, suponiendo RZH , $P(s) + \log(s - 1)$ puede ampliarse analíticamente a continuación $\Re{s} = 1$ (de hecho, esto se deduce de la afirmación más débil de que la función zeta no tiene ceros con parte real arbitrariamente cercana a 1). Por lo tanto, debemos tener que $f(t)$ tiene una singularidad del tipo apropiado en $t=0$ para que esto suceda, y uno puede ver fácilmente que $\frac1{t\log t}$ es la función correcta, porque $$ \int_0^\alpha \frac{t^{s-1}}{t\log t} dt = \operatorname{Ei}((\log \alpha)(1-s)) = \log (1-s) + c - s + ... $$ (donde $\alpha$ es una constante arbitraria en $(0,1)$ y $\operatorname{Ei}$ es el función integral exponencial ) Por lo tanto $f(t) - \frac1{t\log t}$ debe tener una singularidad en $0$ tal que $$ \int_0^\alpha t^{s-1} \left(f(t) - \frac1{t\log t}\right) dt $$ es analítica en alguna región $(1-\epsilon , \infty)$ . En particular, $\int_0^\alpha f(t) - \frac1{t\log t} dt$ converge, por lo que concluimos $f(t) \sim \frac1{t\log t}$ cuando $t \rightarrow 0$ .

Sin la suposición de que la función zeta de Riemann no tiene ceros con parte real próxima a $1$ el panorama se complica mucho más, y no sé exactamente qué tipo de singularidad deberíamos esperar, pero probablemente estaría ligeramente por encima de $\frac1{t\log t}$ .

Otras propiedades de f y g

Inmediatamente tenemos: $$ f^{(n)}(t) = \sum_{p \text{ prime}} (-p)^n e^{-tp} $$ Interesante, $g$ se relaciona con la conjetura de Goldbach: $$ g(z)^2 = \sum_{n\ge 1} g_n z^n $$ donde $g_n$ es el número de formas de escribir $n$ como suma de dos primos. Según la conjetura de Goldbach, $g_{2n} > 0$ para $2n \ge 4$ . Es probable que esta función se haya estudiado en algún momento, pero no he podido encontrar nada en Google.

Answer 2

Sea $F$ sea tu suma original.

Sea $F_N$ sea el $N$ ª suma parcial.

Si se acepta que $$p_n\approx n\ln n$$

entonces $$F-F_N\approx\sum_{n\ge N}n^{-tn}$$ que puede tener alguna relación con el segundo sueño.