Cubierta no orientable de una superficie no orientable

Question

Me desconcertó bastante la petición de clasificar todos los $4$ -de la suma conexa de $5$ copias de $\Bbb R P^2$ . Para el espacio de cobertura orientado, la respuesta es bien conocida: basta con considerar el $2$ -de la cubierta orientable. Pero me sorprendió bastante no ser capaz de encontrar la cubierta no orientable (o descartarla).

En general, ¿qué podemos decir de los espacios de coberturas finitas no orientables de superficies no orientables?

Answer 1

Si $M$ es una variedad conexa, sea $nM$ denotan la suma conexa de $n$ copias de $M$ .

Tenga en cuenta en primer lugar que si $X \to Y$ es un $k$ -cubierta de lona, entonces $\chi(X) = k\chi(Y)$ . Así que si $X$ es una cubierta de cuatro hojas de $5\mathbb{RP}^2$ , $\chi(X) = 4\chi(5\mathbb{RP}^2)$ . Recordemos que $\chi(n\mathbb{RP}^2) = n - 2$ Así que $\chi(X) = 4(5 - 2) = 12$ . Si $X$ es no orientable y conexo, entonces $X = n\mathbb{RP}^2$ para algunos $n$ . Pero $\chi(X) = 12$ y $\chi(X) = \chi(n\mathbb{RP}^2) = n - 2$ Por lo tanto $n = 14$ . Es decir, la única superficie no orientable conectada que puede ser una cubierta de cuatro hojas de $5\mathbb{RP}^2$ es $14\mathbb{RP}^2$ . Tenga en cuenta que todavía tenemos que comprobar si $14\mathbb{RP}^2$ cubre $5\mathbb{RP}^2$ o no.

He aquí un truco útil: si $\pi: X' \to X$ es un $k$ -cubierta, entonces hay una $k$ -cubierta de lona $p: X'\# kY \to X\# Y$ .

Para verlo, veamos $U$ sea un disco abierto uniformemente cubierto en $X$ entonces $X'\setminus\pi^{-1}(U)$ es $X'$ con $k$ discos abiertos disjuntos retirados. Sea $V$ sea un disco abierto en $Y$ . Pegar una copia de $Y\setminus V$ a cada esfera límite de $X'\setminus\pi^{-1}(U)$ y una copia de $Y\setminus V$ a la esfera límite de $X\setminus U$ El $k$ -cubierta de lona $X'\setminus\pi^{-1}(U) \to X\setminus U$ se extiende a un $k$ -cubierta de lona $X'\# kY \to X\# Y$ .

Volviendo al problema que nos ocupa, recordemos que $3\mathbb{RP}^2 = T^2\#\mathbb{RP}^2$ Así que $5\mathbb{RP}^2 = T^2\# 3\mathbb{RP}^2$ . Hay una cubierta de cuatro hojas $T^2 \to T^2$ (por ejemplo, $(z, w) \mapsto (z^4, w)$ ), por lo que, según la construcción anterior, existe una cubierta de cuatro hojas $T^2\# 12\mathbb{RP}^2 \to T^2\# 3\mathbb{RP}^2$ es decir $14\mathbb{RP}^2 \to 5\mathbb{RP}^2$ .

Si las transformaciones de cubierta del mapa de cobertura de cuatro hojas $T^2 \to T^2$ son generados por un $90$ grado (que es el caso del ejemplo que he dado), se puede visualizar la construcción de la cubierta de cuatro hojas de $T^2\# 3\mathbb{RP}^2$ como sigue:

$$3\mathbb{RP}^2 \\ \# \\ 3\mathbb{RP}^2\ \#\ \ T^2\ \#3\ \mathbb{RP}^2 \\ \# \\ 3\mathbb{RP}^2$$

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Con estos argumentos se puede demostrar lo siguiente:

Sea $X$ y $Y$ sean dos superficies cerradas y conectadas, ambas orientables o ambas no orientables. Entonces existe una $k$ -cubierta de lona $X \to Y$ sólo si $\chi(X) = k\chi(Y)$ .

Como todo recubrimiento de un espacio orientable es orientable, el único caso que queda por considerar son los recubrimientos orientables de superficies no orientables.

Sea $X$ y $Y$ sean dos superficies cerradas y conexas, con $X$ orientable y $Y$ no orientable. Entonces hay un $k$ -cubierta de lona $X \to Y$ sólo si $\chi(X) = k\chi(Y)$ y $k$ es par.

La razón por la que necesitamos $k$ para ser par en esta afirmación es que todo recubrimiento orientable de una variedad no orientable se factoriza a través del doble recubrimiento orientable.

Answer 2

Sin duda existen algunos: aquí por ejemplo, es un mapa no orientable de 110 pentágonos, que es una cubierta de 2 pliegues de este mapa . Parece que hay muchos otros ejemplos de mapas de cobertura no orientables.