Munkres 23.5 - ¿conjunto vacío en relación con la desconexión total?

Question

Munkres 23.5 se enuncia como "Un espacio X se llama totalmente desconectado si sus únicos subespacios conexos son conjuntos de un punto. Demostrar que si X es discreto, entonces X es totalmente desconectado. ¿Se cumple lo contrario?"

Me confunde la definición de totalmente desconectado. Pensaba que el conjunto vacío era trivialmente un subespacio conexo de cualquier espacio X. ¿No violaría esto que los únicos subespacios conexos de X son los conjuntos de un punto? En otras palabras, ¿debería esta definición incluir también el conjunto vacío?

Answer 1

Es habitual excluir el conjunto vacío como ejemplo de espacio conexo, del mismo modo que $1$ no puede ser primo. Munkres probablemente lo hace, aunque no tengo una copia a mano. Si no lo hace, entonces se refiere a que averigües el contenido de la afirmación por ti mismo sin ser demasiado pedante.