No me extraña que tengas problemas, ya que la página que has leído no explica muy bien las cosas. Por ejemplo, dicen esto sobre el coeficiente binomial, que es simplemente equivocado :
Básicamente, muestra cuántos subconjuntos posibles diferentes pueden hacerse a partir del conjunto mayor.
El número de subconjuntos posibles de un conjunto de $n$ elementos es $2^n.$ Has aplicado correctamente esa fórmula para contar el número de bytes posibles, en los que cualquier subconjunto de los ocho bits puede ajustarse a $1$ y los demás bits ajustados a $0.$ El total $2^8$ incluye el conjunto vacío (que le da el byte $00000000$ ), el conjunto de los ocho bits (que da el byte $11111111$ ), y subconjuntos con cualquier número de bits entre cero y ocho.
El coeficiente binomial $\binom nr$ cuenta sólo los subconjuntos que tienen exactamente $r$ elementos. No se pueden contar todos los bytes utilizando sólo un coeficiente binomial, porque los bytes no tienen todos el mismo número de $1$ s. Puedes contar todos los bytes que no tienen $1$ s (sólo hay un byte de este tipo, y lo contamos con $\binom 80 = 1$ ), puedes contar los bytes que tienen ocho $1$ s (sólo hay un byte de este tipo, y lo contamos con $\binom 88 = 1$ ), puedes contar los bytes que tienen una $1$ (hay $\binom 81$ de éstos), puedes contar los bytes que tienen dos $1$ s (hay $\binom 82$ de éstos), etc. Pero no importa qué coeficiente binomial elijas, habrá muchos bytes posibles que no cuente. La única forma de contar todos los bytes con coeficientes binomiales es sumar varios coeficientes. (Esto se mostró en un comentario).
